УДК 004.021

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ С МАРКОВСКИМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ

Короткова Неля Николаевна
Волжский политехнический институт (филиал) Волгоградского государственного технического университета
кандидат технических наук, доцент кафедры информатики и технологии программирования

Аннотация
В статье приведён алгоритм оптимального управления линейными стохастическими системами с Марковскими переключениями при использовании квадратического функционала стоимости.

Ключевые слова: квадратичный функционал стоимости, линейные стохастические системы


DEVELOPING AN ALGORITHM FOR OPTIMAL CONTROL OF A DISCRETE-TIME SWITCHED AND MARKOVIAN JUMP LINEAR SYSTEMS

Korotkova Nelya Nikolaevna
Volzhsky polytechnical institute (branch) Volgograd state technical university
PhD in Engineering Sciences, Associate Professor of Computer Science and Software Engineering

Abstract
This article contains the algorithm for optimal control of linear stochastic systems with Markov switching using quadratic functional cost.

Библиографическая ссылка на статью:
Короткова Н.Н. Разработка алгоритма оптимального управления дискретной линейной динамической системой с марковскими переключениями // Современная техника и технологии. 2014. № 10 [Электронный ресурс]. URL: http://technology.snauka.ru/2014/10/4619 (дата обращения: 27.05.2017).

В работах [1,2] рассмотрена задача управления линейными стохастическими системами с Марковскими переключениями при использовании квадратического функционала стоимости. В настоящей статье рассмотрен алгоритм расчета оптимального управления такими системами.

Рис.1. Блок-схема основной программы

В основной программе задаются n- размерность вектора состояний x системы, m  - размерность вектора управлений u, l- размерность вектора помех w, N1-количество шагов, N*- количество возможных состояний Марковского процесса, m_{0}-математическое ожидание и C_{0}- ковариация для начального состояния системы x_{0}. Задаётся матрица вероятностей переходов P марковского процесса, матрицы M_{k1}, N_{k1}, определяющие стоимость управления J. Вводятся матрицы A_{j1i1} ,B_{j1i1}d_{j1}, описывающие линейную динамическую систему. Затем вызывается процедура Schet_K() вычисления вспомогательных матриц K_{ji}. Вызывается процедура Schet_L() вычисления матриц L_{ji}, которые сохраняются в памяти. Затем рассчитываются и выводятся оптимальное управление u{_{}}^{0} (в процедуре Schet_u()) и минимальная стоимость управления J{_{}}^{0} (в процедуре Schet_J()).

Рис. 2 Блок-схема процедуры  Schet_K()

На рис.2. представлена блок-схема процедуры  Schet_K(), в которой вычисляются вспомогательные матрицы K_{j2i2}. На последнем шаге матрица совпадает с заданной матрицей M_{j2} и не зависит от состояния Марковского процесса i2, а на предыдущих – вычисляются по рекурсивной формуле. При этом используются циклы по состояниям Марковского процесса T_{j2}=i2.

Рис.3. Блок-схема процедуры  Schet_u()

 На рис.3. изображена блок-схема процедуры Schet_u() расчета оптимального управления u_{j3}^{0} на j3 шаге  по состоянию системы x_{j3} и состоянию Марковского процесса  T_{j3} с помощью вспомогательной матрицы L_{j3i3}.  Вводится начальное состояние системы x_{0}. Затем в цикле по номеру шага j3 вводится состояние Марковского процесса  T_{j3} и вычисляется оптимальное управление  на этом шаге u_{j3}^{0} и состояние системы на следующем шаге x_{j3+1}.

Рис.4. Блок-схема процедуры  Schet_L()

На рис.4. приведена блок-схема процедуры Schet_L() подсчета матриц L_{j4i4}. При этом используются внешний цикл по номеру шага  j4 и внутренний – по состояниям Марковского процесса T_{j4}=i4.

Рис.5. Блок-схема функции Schet_MK(j,i)

 На рис.5. представлена блок-схема функции Schet_MK(j,i) подсчёта условного математического ожидания  для K_{j+1}(T_{j+1}) при условии T_{j}=i. Сначала матрице S1 присваивается нулевое значение. Затем в цикле по возможным значениям  T_{j+1}=k5 на каждом шаге текущее значение S1 складывается с произведением K_{j+1k5}*p_{ik5}, после цикла из функции возвращается полученная  матрица S1. 

Рис.6. Блок-схема процедуры  Schet_J()

На рис.6. приведена блок-схема процедуры Schet_J() подсчета минимальной стоимости управления. Сначала в переменных  S и tr1 хранятся произведения матриц. Затем в цикле по строкам   j6 к переменной S добавляются диагональные элементы матрицы tr1.  После этого в цикле по номеру шага j7 на каждом шаге матрице S3 присваивается нулевое значение.  Во внутреннем цикле по возможным значениям марковского процесса k2  вычисляется математическое ожидание для K_{j7+1}. Затем S суммируется со скалярным произведением d_{j7}*S3*d_{j7}  и переходим к следующему шагу внешнего цикла по j7. по окончании внешнего цикла присваиваем найденную минимальную стоимость управления переменной J{_{}}^{0}.    

В дальнейшем предполагается программная реализация полученного алгоритма.


Библиографический список
  1. Fragoso M.D. Discrete-time jump LOG problem / M.D. Fragoso // International journal of System Science.-1989.- Vol.20.Iissue 12.- pg. 2539-2545.
  2. Короткова  Н.Н. Linear quadratic gaussian problem for discrete-time markovian jump linear systems [Электронный ресурс] / Короткова Н.Н., Моженков В.В., Беляков Е.В. // Modern scientific research and their practical application : e-journal. – 2013. – № 4, vol. J11309/May. – C. Режим доступа : http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/e-journal/the-content-of-journal/j113/18463-j11309.


Все статьи автора «Короткова Неля Николаевна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: