УДК 519.6

МЕТОД АВТОМАТИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ПО ИНДЕКСАМ ДАННЫХ

Леонова Полина Владимировна
«Таганрогский институт имени А.П. Чехова» (филиал) Ростовского государственного экономического университета (РИНХ)
студентка 4 курса факультета физики, математики, информатики

Аннотация
Изучается метод программной идентификации нулей линейных и нелинейных алгебраических систем уравнений, а так же трансцендентных систем уравнений. Применяется схема сортировки с взаимно однозначным соответствием входных и выходных индексов сортируемых элементов. Метод существенно отличается от известных построением на основе сортировки, возможностью распараллеливания и произвольностью задания границ области всех решений систем уравнений.

Ключевые слова: решение систем уравнений, системы уравнений общего вида, сортировка


METHOD OF AUTOMATIC IDENTIFICATION SOLUTIONS OF SYSTEMS OF DATA INDEX

Leonovа Polina Vladimirovna
Taganrog Institute named after A. P. Chekhov (branch) Rostov State University of Economics
student of the Faculty of Physics, Mathematics, Computer Science

Abstract
We study the method of identifying the program zeros of linear and nonlinear algebraic equations, as well as systems of transcendental equations. Used sorting circuit with a one-to-one correspondence of input and output indexes sorted elements. The method differs significantly from the famous building on the basis of the sort, the possibility of parallelization and arbitrary setting of borders region of solutions of systems of equations.

Keywords: solution of systems of equations, sorting, systems of equations of general form


Библиографическая ссылка на статью:
Леонова П.В. Метод автоматической идентификации решений систем уравнений по индексам данных // Современная техника и технологии. 2016. № 1 [Электронный ресурс]. URL: http://technology.snauka.ru/2016/01/9229 (дата обращения: 04.10.2017).

Ставится задача построить схему программного решения cистем уравнений при этом число уравнений и длина промежутка изменения независимой переменной могут быть произвольными. Пусть вначале требуется локализовать и приближенно вычислить все минимумы действительной функции одной действительной переменной 

     (1)

на промежутке  в области ее определения. Строится равномерная сетка: . На сетке считываются значения функции (1)

.      (2)

Элементы массива (2) сортируются. Используется быстрая сортировка, основанная на адресном слиянии двух упорядоченных массивов по матрице сравнений, детально описанная в [1, с. 28]. К выходу сортировки подсоединяется условный оператор, осуществляющий локализацию каждого минимума в окрестности произвольно заданного радиуса  среди элементов (2), при условии, что  меньше половины расстояния между любыми двумя соседними минимумами. Такой оператор можно представить соотношением . Индексы  входных элементов располагаются на выходе в порядке элементов отсортированного массива. Смысл оператора в том, что в - окрестности входного элемента с индексом  нет элемента в отсортированном массиве, превосходящего по значению элемент с этим индексом. Данный оператор ниже называется оператором локализации минимума. После локализации минимума выполняется спуск к наименьшему значению в окрестности локализованной точки. Он осуществляется выбором наименьшего значения в сужаемой окрестности c фиксированным числом элементов равномерной сетки, пока не достигается требуемая точность [2, с. 35]. 
Например, все минимумы функции  на отрезке [-30, 30] в результате работы программы, листинг которой представлен в [3, с. 320], примут значения:
-2.67035375557E+0001 -1.00000000000000E+0000
-2.04203522486E+0001 -1.00000000000000E+0000
………………………………………………….
2.98451302089E+0001 -1.00000000000000E+0000
Достигнутая точность приближения характерна для излагаемого метода.
Нули функции идентифицируются как достаточно малые минимумы модулей значений на равномерной сетке. С использованием плоской равномерной прямоугольной сетки схема распространяется на идентификацию нулей функций двух переменных [4, с. 32]. Дискретизированные значения функции интерпретируются как двумерные массивы. Данная схема следующим образом применяется к безусловной численной локализации нулей систем однородных уравнений. Пусть исходная система нелинейных уравнений преобразована к виду однородной системы

      (3)

с действительными левыми частями (как последует из построения, метод распространяется на случай комплексной левой части). Совокупность аргументов  можно рассматривать как n-мерный вектор с действительными компонентами. Аналогично совокупность функций представляет собой такжеn-мерный вектор с действительными компонентами [4, с. 40]. Пусть требуется найти все решения системы (3) в многомерном параллелепипеде, входящем в область ее определения. Строится равномерная сетка, в узлах которой значения канонической нормы вектор-функции из левой части (3) (для определенности норма – сумма модулей компонент) принимаются за элементы массива: 

      (4)

На вход алгоритма идентификации минимумов функции n переменных подается массив (4), после чего идентифицируются все нули системы (3) как минимумы нормы левой части [4, с. 41]. При этом первоначально идентифицируются все минимумы, затем среди них выбираются те, которые близки к нулю с априори заданной точностью: .
Например, для системы

которая имеет три решения, предложенная схема представленная в работе [5, с. 78] дает семь значений минимумов нормы, из них три наименьшие, достаточно близкие к нулю (выделены подчеркиванием), приближают искомые решения:

Значения аргументов
Значения компонент
f1
f2
x
y
1.94007
3.67910
-0.0000000000 
0.0890364151
2.07596
3.77313
-0.0000000000 
0.0006942907
2.49393
4.01045
-0.0000000000
-0.2011612746
3.67927
1.94030
0.0000000000
-0.0888810927
3.77324
2.07612
0.0000000000 
-0.0005957791
4.01049
2.49403
0.0000000000 
0.2011954085
4.00000
4.00000
-0.0000000000 
0.0000000000

Схема без изменения применима для приближенных решений систем линейных и нелинейных алгебраических, а также трансцендентных уравнений [4, с. 41], по способу компьютеризации отличаясь от аналогов [6, 7]. На вход метода поступают значения функции, которые с учетом общности ограничений могут вырабатываться в результате решения некоторой другой задачи в реальном времени. Существенным ограничением при этом является требование достаточной малости шага дискретизации. Отличительным качеством, как и в двумерном случае, остается отсутствие начальных приближений, а также области локализации экстремумов, используемых в математических методах [6, 7]. Численный эксперимент показывает применимость схемы в случае вектор-функций из левой части (3) со сложным рельефом [7], включая разрывы первого рода.
Отличительными особенностями предложенного метода являются его построение на основе сортировки, автоматичность программной локализации экстремальных значений функций и систем уравнений, инвариантность схемы относительно размеров области поиска [2, с. 22].


Библиографический список
  1. Ромм Я.Е. Схемы численной оптимизации на основе алгоритмов сортировки с приложением к идентификации экстремумов решений дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 050202.65 «Информатика» / Я. Е. Ромм, И. В. Заика; М-во образования и науки Российской Федерации, Гос. образовательное учреждение высшего проф. образования «Таганрогский гос. педагогический ин-т». Таганрог, 2010.
  2. Ромм Я.Е., Заика И.В. Численная оптимизация на основе сортировки с приложением к поиску нулей и экстремумов решений систем дифференциальных и нелинейных уравнений общего вида. Депонированная рукопись  № 378-В2009 18.06.2009
  3. Romm Y.E., Zaika I.V. Numerical sorting-based optimization as applied to general differential and nonlinear equations Romm Y.E., Zaika I.V. Cybernetics and Systems Analysis. 2011. Т. 47. № 2. С. 316-329.
  4. Заика И.В., Ромм Я.Е. Метод нахождения экстремумов решений дифференциальных уравнений на основе адресной сортировки. Депонированная рукопись № 908-В2003 12.05.2003
  5. Заика И.В., Ромм Я.Е Численное решение нелинейных систем уравнений общего вида на основе алгоритмов сортировки // В сборнике: Научные исследования в современном мире, Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции. НИЦ «Наука и образование»; под общей редакцией Д.А. Ефремова. г. Нефтекамск, 2015. С. 78-80.
  6. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. -512 с.
  7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.-Т.2.-М.:Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. – 640 с.


Все статьи автора «Леонова Полина Владимировна»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: