Основными источниками энергии XXI века выступают нефть и газ, добывающиеся из глубоко залегающих подземных пластов. Описание процессов накопления и фильтрации нефти и газа в таких пористых пластах, а также основные технологии их добычи представляют собой важные задачи теории фильтрации.
В настоящее время закачку газа в пористый пласт используют в нескольких случаях.
Во-первых, данный способ может быть использован как один из вариантов утилизации попутного нефтяного газа при разработке нефтяных месторождений (стоит, конечно, отметить, что попутный нефтяной газ эффективнее переработать, чем утилизировать, – так, некоторые компании уже разработали и запатентовали оборудование по переработке такого газа).
Во-вторых, в продуктивных коллекторах, имеющих в своем составе много глинистого материала, закачка воды для поддержания пластового давления, как правило, становится неэффективной (такие нагнетательные скважины требуют специальной обработки воды и высоких давлений нагнетания). В этих условиях закачка сухого углеводородного газа будет гораздо эффективнее, так как такой газ не будет взаимодействовать с породами коллектора, а значит, обеспечит технически приемлемые параметры процесса.
В-третьих, закачка горячего газа может быть использована для добычи углеводородного сырья из газогидратных месторождений. Энергетическая эффективность такого процесса показана в работах [1, 2].
Кроме перечисленных случаев имеются и другие области, где используется процесс нагнетания газа в пористый пласт или энергия СВЧ-излучения [3] с целью достижения тех или иных целей.
Так, например, в работе [4] рассмотрена плоская одномерная задача об инжекции влажного пара в пористую среду, исследовано влияние параметров, определяющих начальное состояние пористой среды, граничного давления, температуры и влагосодержания пара на темп распространения гидродинамических и температурных полей через границу пористой среды без учета эффектов связанных с тепловым разрушением твердой фазы.
В связи с актуальностью и повсеместным использованием метода закачки газа в пористый пласт, рассмотрим более детально данный процесс в плоском и радиальном одномерных случаях.
Рассмотрим пласт, представляющий собой пористую среду. Через границу области газонасыщенной пористой среды происходит закачка горячего газа. Будем полагать, что эта граница неподвижна.
При описании процессов фильтрации и тепломассопереноса примем следующие допущения: скелет пористой среды несжимаем и неподвижен, пористость постоянна, газ – калорически совершенный, фильтрационные процессы – однотемпературные (температура газа и пористой среды в каждой точке совпадают). В рамках отмеченных допущений запишем для одномерных задач уравнения сохранения массы, притока тепла, закон Дарси и уравнение состояния газа:
(1)
Здесь 
или 
соответствуют плоской и радиальной задачам. Нижний индекс 0 соответствует значениям параметров для начального невозмущенного состояния, а верхний индекс 0 определяет истинное состояние параметра. Нижние индексы 
относятся соответственно к пористому скелету и газу (skeleton, gas). В этих обозначениях 
– истинная плотность, давление, температура, скорость фильтрации, коэффициент абсолютной проницаемости и динамическая вязкость газа соответственно, 
– пористость среды, 
– приведенная газовая постоянная (своя для каждого газа: 
, 
, 
– молярная масса газа), 
и 
– средняя плотность и теплоемкость системы «пористая среда – газ».
Будем полагать, что в начальный момент времени в пористой среде, заполненной газом, давление 
и температура 
однородны. Эти условия запишем в виде:
(2)
Для плоской задачи 
будем полагать, что на границе пористой среды в момент времени 
давление на границе 
повышается до значения 
и в дальнейшем поддерживается постоянным, а температура закачиваемого газа равна 
(рис. 1):
(3)
В случае радиальной задачи рассмотрим однородный, горизонтальный пласт постоянной толщины и неограниченной протяженности, представляющий собой пористую среду, заполненную газом. Кровля и подошва пласта непроницаемы. В пласте пробурена скважина, вскрывающая пласт на всю толщину. Через скважину закачивается теплый газ с постоянным массовым расходом 
, отнесенным на единицу длины скважины (рис. 2).
В момент времени 
начинается нагнетание газа с постоянным массовым расходом 
:
. (4)
С учётом закона Дарси и уравнения калорически совершенного газа, (4) запишем в виде:
. (5)
Оценки показывают, что в большинстве случаев, представляющих практический интерес, в уравнении притока тепла можно пренебречь слагаемыми, связанными с баротермическим эффектом. Кроме того, в уравнении пьезопроводности, следующем из уравнения сохранения массы и закона Дарси, слагаемое, учитывающее переменность температуры, мало, если характерные перепады температуры 
в области фильтрации небольшие (например, при 
). В дальнейшем будем также пренебрегать переменностью объемной теплоемкости и коэффициента теплопроводности пористой среды:
(6)
Тогда система (1) может быть приведена к виду:
(7)
Здесь 
и 
– коэффициенты пьезопроводности и температуропроводности соответственно.
Для плоской задачи система уравнений (7) перепишется в виде:
(8)
В данной постановке задача является автомодельной. Введем автомодельную переменную в виде: 
.
Перейдем к автомодельным переменным:
С учетом новых обозначений система (8) примет вид:
(9)
Здесь 
.
Применим к первому уравнению системы (9) метод линеаризации Лейбензона, заключающийся в умножении обеих частей уравнения на величину давления 
:
. (10)
Проведя замены 
и 
, с учетом (10) систему уравнений (9) перепишем в виде
(11)
Рассмотрим первое уравнение системы (11). Его общее решение имеет вид
Постоянные 
и 
найдем из начальных и граничных условий, которые в автомодельных переменных имеют вид
(12)
Тогда выражение для распределения давления запишется в виде
(13)
Отметим, что при расчетах обычно принимают
или 
Выражение для распределения температур получается как решение второго уравнения системы (11):
Постоянные 
и 
найдутся из условий, аналогичных условиям (12):
Окончательно для распределения температур запишем:
(14)
Результаты численных расчетов, проведенных по выражениям (13) и (14), представлены ниже на рис. 3 – 6. При этом взяты следующие значения параметров: 
, 
, 
, 
, 
.
На рис. 3 проиллюстрировано влияние температуры закачиваемого газа на профили температур в среде. Приведен также профиль давлений, возникающих в процессе закачки газа (от температур не зависит). Графики построены для следующих значений параметров среды: 
, 
, 
. Давление закачиваемого газа 
. Линии 1, 2 и 3 соответствуют температурам закачиваемого газа 
, 
и 
соответственно. Видно, что с ростом температур закачиваемого газа увеличивается угол наклона кривых к оси 
(растет крутизна кривых), однако выравнивание температур с исходной пластовой происходит практически в одной и той же координате 
. Последний факт означает, что характерная глубина проникания температурных волн практически не зависит от температуры закачиваемого газа. На основе приведенных графиков и вида автомодельной переменной 
можно определить характерное расстояние 
распространения температурной волны за некоторое время 
.
Рассмотрим, например, линию 3, соответствующую температуре закачиваемого газа 
. Выравнивание температур с исходной пластовой соответствует значению автомодельной переменной 
. Для момента времени, например, 
это соответствует координате 
; моменту времени 
будет соответствовать координата 
. Таким образом, за время 
, температурная волна проникает на расстояние 
; за время 
глубина проникания составит около 
, а за время 
– около 
.
Аналогичные расчеты для характерного расстояния проникания волны давления дают следующие результаты (на основе приведенного здесь профиля давления). Выравнивание давления с пластовым 
происходит при 
. Отсюда, при 
имеем 
, при 
получим 
. Таким образом, за время 
, волна давления проникает на расстояние 
; за время 
глубина проникания составит около 
, а за время 
– около 
.
На рис. 4 представлены профили давлений и температур в среде при различных значениях пластового давления 
. Параметры пласта: 
, 
. Температура и давление закачиваемого в пласт газа соответственно равны 
и 
. Линии 1 соответствуют случаю 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
. Видно, что изменение пластового давления приводит к изменению распределения и давлений, и температур в среде. При этом ширина зоны фильтрации не зависит от пластового давления, однако с ростом 
отмечается более резкий спад температур.
Рис. 5 демонстрирует влияние проницаемости пористой среды на профили давлений и температур. Графики построены при следующих значениях параметров: 
, 
, 
, 
. Линии 1 соответствуют случаю 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
. Как и следовало ожидать, уменьшение проницаемости среды ведет к сужению области фильтрации, и более резкому падению температур. Кроме того, сравнивая между собой глубину проникания волн давлений для проницаемостей среды 
и 
, можно прийти к выводу, что 
. Действительно, если принять, что проницаемости 
соответствует 
, а проницаемости 
соответствует 
, то получим: 
.
Если провести соответствующие расчеты еще и для различных значений пористости 
и давления 
, то можно заметить, что глубина проникания волн давления 
. В итоге приходим к выводу, что 
. В общем случае математическая теория показывает, что характерное расстояние 
проникания волны давления за время 
находится как 
.
Рисунок 3. Влияние температуры 
закачиваемого газа на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
. Параметры закачиваемого газа: 
, линии 1 – 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
.
Рисунок 4. Влияние исходного пластового давления на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
. Параметры закачиваемого газа: 
, линии 1 – 
линии 2 – 
линии 3 – 
Рисунок 5. Влияние проницаемости среды на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
. Параметры закачиваемого газа: 
, линии 1 – 
линии 2 – 
линии 3 – 
На рис. 6 показано влияние давления закачиваемого газа на профили давлений и температур в среде при следующих значениях параметров: 
, 
, 
, 
. Линии 1 – 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
. Видно, что рост давления 
приводит к расширению зоны фильтрации и увеличению ширины зоны перепада температур. При этом при больших значениях давления 
образуется область, в которой температура закачиваемого газа практически не изменяется (линия 3 на рис. 6). Очевидно, это связано с тем, что при таких давлениях газ не успевает охладиться в протяженной зоне, а среда нагревается нагнетаемым газом.
Для радиальной задачи система (7) перепишется в виде
(15)
Решение радиальной задачи проведем, введя автомодельную переменную в виде 
. Перейдем к автомодельным переменным:
В итоге, после линеаризации уравнения пьезопроводности, система уравнений (15) примет вид
(16)
Произведем замены переменных: 
, 
, тогда
(17)
Распределение давлений получим, решая первое уравнение системы (17). Очевидно, что его решение имеет вид
(18)
Из начальных и граничных условий
находим, что 
, 
. Тогда (18) окончательно перепишется в виде
(19)
Рисунок 6. Демонстрация влияния давления закачиваемого газа на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
. Параметры закачиваемого газа:
линии 1 – 
линии 2 – 
, линии 3 – 
.
Рассмотрим второе уравнение системы (17). Проинтегрировав его, получим
Отсюда:
(20)
Так как
то 
, 
. В результате распределение температур в пористой среде принимает вид
(21)
Результаты расчета для случая радиальной симметрии представлены на рис. 7 – 11.
На рис. 7
иллюстрируется влияние температуры закачиваемого газа на профили давлений и температур в среде при следующих значениях параметров: 
. Линии 1 соответствуют температуре закачиваемого газа 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
. Видно, что с ростом 
несколько расширяется зона перепада температур. Влияние температуры 
на профили давлений связано с тем, что при одном и том же массовом расходе газа более высокая температура 
приводит к повышению давления на границе закачки, в результате чего давления вблизи границ скважины различаются.
На рис. 8 проиллюстрировано влияние исходного пластового давления 
на профили давлений и температур в среде при следующих значениях параметров: 
. Линии 1 соответствуют температуре закачиваемого газа 
, линии 2 – 
линии 3 – 
. Видно, что изменение давления 
оказывает влияние лишь на профили давлений в пористой среде, но не влияет на распределение температур. Это связано с тем, что при одной и той же величине массового расхода 
рост пластового давления ведет к росту давления на границе скважины.
На рис. 9 показано распределение давлений и температур в среде при различных значениях проницаемости. Графики построены при следующих значениях параметров: 
. Линии 1, 2 и 3 соответствуют проницаемостям 
и 
Распределения давлений в среде здесь объясняется ростом давления вблизи границы скважины при снижении проницаемости среды в условиях неизменного массового расхода 
.
Рисунок 7. Влияние температуры закачиваемого газа на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
, 
. Линии 1 – 
линии 2 – 
линии 3 – 
Рисунок 8. Влияние исходного пластового давления на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
, 
. Линии 1 – 
линии 2 – 
линии 3 – 
Рисунок 9. Влияние проницаемости среды на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
, 
, 
. Линии 1 – 
линии 2 – 
линии 3 – 
На рис. 10 показано влияние массового расхода газа на профили давлений и температур в среде при следующих значениях параметров: 
. Линии 1 соответствуют массовому расходу 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
Видно, что с ростом массового расхода газа увеличивается давление вблизи границы скважины и увеличивается ширина зоны фильтрации; при этом наблюдается более глубокое проникновение температурной волны.
На рис. 11 показано влияние проницаемости на профили давлений и температур в среде при одинаковых значениях давлений вблизи границ скважины. Параметры среды и закачиваемого газа следующие: 
. Линии 1 построены при 
линии 2 – 
линии 3 – 
Необходимость разных массовых расходов связана с поддержанием одинаковых значений давлений вблизи границы скважины при изменении проницаемости среды. Видно, что в данных случаях уменьшение проницаемости среды ведет к сужению зон фильтрации и температурных перепадов.
На основе проведенного исследования можно сформулировать следующие выводы.
Для плоскоодномерной задачи изменение исходного пластового давления оказывает влияние на распределения давлений и температур в среде. Так, с ростом 
сужается зона фильтрации и отмечается более резкое падение температуры.
В случае радиальной задачи изменение температуры закачиваемого газа при постоянном массовом расходе оказывает влияние как на профили давлений, так и на профили температур. Отличия в профилях давлений связаны с тем, что с ростом температуры 
несколько повышается давление вблизи границ скважины (т.к. предполагается постоянство массового расхода газа).
На профили давлений и температур в среде оказывают влияние и изменения других параметров: изменение проницаемости, давления 
, массового расхода 
.
Рисунок 10. Влияние массового расхода закачиваемого газа на профили давлений и температур в пористой среде. Параметры среды: 
. Линии 1 – 
, линии 2 – 
, линии 3 – 
.
Рисунок 11. Демонстрация влияния проницаемости среды на профили давлений и температур в пористой среде при одинаковых значениях давлений вблизи границы скважины. Параметры среды: 
. Линии 1 – 
, 
, линии 2 – 
, 
, линии 3 – 
, 
.
Библиографический список
- Дмитриев В.Л., Потапов А.А. Закачка в пласт горячего газа как энергоэффективный способ разработки газогидратного месторождения // ФИЗ-МАТ. 2013. № 4. – С. 3-12.
- Дмитриев В.Л., Потапов А.А. Инжекция горячего газа как энергоэффективный способ добычи газа из газогидратного месторождения // Сборник научных трудов II Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Высокие технологии в современной науке и технике». Т.2. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета. 2013. – С. 365-368.
- Шагапов В.Ш., Насырова Л.А., Потапов А.А., Дмитриев В.Л. Тепловой удар под воздействием энергии излучения на пористую среду, частично заполненную газогидратом // Инженерно-физический журнал. 2003. Т.76. №5. – С. 47-53.
- Шагапов В.Ш., Рахматуллин И.Р., Насырова Л.А. К теории инжекции влажного пара в пористую среду // Теплофизика высоких температур. 2004. Т. 42. № 6. – С. 1-9.