Достаточно сложной задачей при планировании и принятии решений является выбор конечного компромиссного решения с учетом различных критериев [1]. Исследовательской проблемой является необходимость покупки цифрового фотоаппарата, предлагаемых в различных интернет-магазинах. Для решения задачи мы выбрали достаточно известный в теории принятия решений критерий Парето 

Концепция Парето-оптимальности лежит в основе ценностных суждений, используемых для принятия оптимальных решений по распределению ресурсов. Принцип Парето заключается в том, что при упоре на небольшое количество факторов достигаются максимальные результаты, часто с гораздо меньшими усилиями, чем потребовалось бы, если все факторы были бы равны.

Важность критерия Парето заключается в том, что он обеспечивает слабый, но широко распространенный стандарт для сравнения результатов. Этот стандарт не описывает многообразие эффективных ситуаций, и критерий не может ответить на вопрос, как выбрать между ними. 

Применением критерия Парето занимались многие российские и зарубежные исследователи. В.В.Коротков и Р.П.Шацов [2] получили нижнюю и верхнюю оценку радиуса устойчивости Парето-оптимальности и построили многокритериальную Булеву задачу с максиминными критериями эффективности Вальда на основе портфельной теории Марковица. Л.Н.Посицельская [3] доказала существование ситуаций ε-равновесия и показала, что найденные ε-равновесные стратегии являются ε-максиминными. Так же привела условия, при которых равновесные партии оптимальны по Парето. Е.В.Стельмашонок, В.В.Тарзанов и В.Л.Стельмашонок [4] исследовали один из перспективных подходов к выбору варианта системы защиты информации, основанный на исследовании множества Парето. В.Ф.Шуршев и Л.В.Буй [5] рассмотрели алгоритм рационального выбора сканирующих приемников и трансиверов на основе использования критерия Парето. Р.И.Баженов и др. [6-13] исследовали и применяли в педагогической практике многокритериальные методы выбора решений. D.Ghosha и D.Chakraborty в работе «A new Pareto set generating method for multi-criteria optimization problems» [14] разработали новый Парето метод набора генерации для многокритериальных задач оптимизации. Полученные решения, осуществлённые в предлагаемом методе, являются глобально оптимальными по Парето. D.E.Grierson в работе «Pareto multi-criteria decision making» [15] рассмотрел многокритериальный процесс принятия решений и предложил стратегию использования техники на компромисс-анализе для определения компромиссных проектов, для которых конкурирующие критерии взаимно удовлетворены в Парето-оптимальном смысле. H.He, N.Zhou и R.Zhang в статье «On estimation for the Pareto distribution» [16] получили моменты функции плотности вероятности и функции надежности для распределения Парето с максимально правдоподобной и единой минимальной дисперсией объективной оценки. U.Bhunia, S.Saha и A.Chakrabarti [17] рассмотрели многоцелевой подход оптимизации конструкции для секторной тороидальной сверхпроводящей магнитной катушки с целью хранения энергии. Они опирались на практические инженерные ограничения среди конфигураций, оптимальных по Парето.

После изучения материалов, представленных в сети на специализированных сайтах мы отобрали критерии для сравнения: физический размер матрицы, общее число пикселей матрицы, максимальная чувствительность (ISO) и оптический Zoom [6].

В результате анализа предлагаемых товаров в интернет-магазинах было выбрано шесть цифровых фотокамер примерно одинаковой стоимости:1. FujiFilm FinePix XF1;
2. Olympus SZ-17;
3. SONY TX30B;
4. Panasonic Lumix DMC-TZ55;
5. Samsung WB800F;
6. Samsung WB2100.
Основные характеристики отобранных фотокамер приведены в табл.1. В названии показателя указана направленность показателя: ↑ − направленность на максимум, ↓ − направленность на минимум.

Сгенерированное множество альтернатив состоит из n элементов. Полученное множество альтернатив обозначим, как А={a_i}, i=  где a_i - альтернативы, полученные при выборе цифровых фотокамер; a={e_j},j= где e_j - показатели качества а. Показатели качества {e_j}, j= вариантов A={a_i} описываются их значениями {e_i,j} по строкам.

Таблица 1 – Основные характеристики фотокамер

Алгоритм выбора оптимальных альтернатив по критерию Парето начинается с составления ассоциативных матриц АМ_j [5]. Приведем описание метода.

В основу алгоритма выбора по критериям Парето положена модель описания множеств возможных вариантов с помощью фактор-множества F(A/e), которым являются множества окрестностей единичного радиуса, взятых для всех a_i  A, i=. 

Окрестность O_i элемента a_i представляет собой множество элементов {a_i*}, доминирующих или эквивалентных a_i (a_i*>=a_i).

Линейные порядки альтернатив требуется построить в виде реляционного отношения

L(A/e_j)=<a_i+1, a_i, …, a_n>, i=, a_i+1a_i по e_j, j=.

Если альтернатива a_i доминирует альтернативу a_k, то элемент ассоциативной матрицы d^j_i,k принимает значение равное 1, иначе элемент ассоциативной матрицы d^j_i,k равен 0. Если альтернативы a_i, a_k несравнимы по данному показателю качества, то элементы d^j_i,k = d^j_k,i =1. Размещенные на главной диагонали элементы всегда принимают значение равное 0 [18]. Таким образом, 

Осуществим построение ассоциативных матриц (табл. 2-5). 

Для нахождения элементов ассоциативных матриц покажем найденные в результате анализа табл. 1 линейные порядки по e₁, e₂, e₃, e₄:
L(a/e₁)= {{a₁},{a₂, a₃, a₅, a₆}, {a₄}};
L(a/e₁)= {{a₃}, {a₆},{a₅}, {a₂, a₄}, {a₁}};
L(a/e₁)= {{a₁, a₃, a₆}, {a₂, a₄}, {a₃}};
L(a/e₁)= {a₆, a₂, a₅, a₄, a₃, a₁}.

Таблица 2 – Ассоциативная матрица АМ₁ фактор-множества F(a_i/e₁) линейного порядка L(a_i/e₁), где i= 1,…,6

На основе полученных ассоциативных матриц – АМ₁, АМ₂, АМ₃, АМ₄ путем пересечения фактор-множеств по каждому из показателей качества строим результирующую ассоциативную матрицу АМ_рез (табл.6), элементы которой определяются по формуле

По критерию Парето альтернатива a_h включается во множество оптимальных вариантов, если значение Z_h=c_1,h  c_2,h  …  c_n,h=0. Как видно из табл.6, результирующая ассоциативная матрица содержит окрестности O₁(a₁), O₃(a₃), O₆(a₆) у которых значения Z₁, Z₃, Z₆=0 соответственно. Таким образом, a_1, a_3, a₆ являются наихудшими вариантами исходного множества. 

Выполнив удаление наихудших вариантов в результирующей ассоциативной матрице, получим новую матрицу (табл.7). То есть, сначала удаляем столбцы O₁(a₁), O₃(a₃), O₆(a₆), так как в них все нули, потом строки a₁, a₃, a₆. В результате остались строки a₂, a₄, a₅.

Продолжаем удалять наихудшие варианты O₂(a₂), O₅(a₅) (табл.8) по такому же алгоритму (сначала столбцы, потом строки).

Таблица 8 - Результирующая ассоциативная матрица после удаления альтернативы a_2,a₅

После удаления наихудших вариантов мы получили установленные отношения порядка. Порядок альтернатив имеет следующий вид: <{a₁, a₃, a₆}, {a₂, a₅}, a₄>. 

В результате исследования мы выяснили, что цифровая фотокамера №4 (Panasonic Lumix DMC-TZ55) прошла испытание Парето и является не худшим вариантом с точки зрения критерия Парето.

1. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений: Учебное пособие. М.: Макс Пресс, 2008. 197 с.
2. Коротков В.В., Шацов Р.П. Об устойчивости Парето-оптимального портфеля многокритериальной инвестиционной задачи в случае нормы Гельдера в критериальном пространстве // Вестник БГУ. Серия 1, Физика. Математика. Информатика. 2013. №1. С. 92-95.
3. Посицельская Л.Н. Равновесие и оптимальность по Парето в шумных дискретных дуэлях с произвольным количеством действий // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. №2 (13). С. 147-155.
4. Стельмашонок Е.В., Тарзанов В.В., Стельмашонок В.Л. Выбор варианта системы защиты информации промышленного предприятия на основе исследования множества Парето // Вестник инжэкона. Серия: экономика. 2013. №3 (62). С. 64-70.
5. Шуршев В.Ф., Буй Л.В. Использование критерия Парето при рациональном выборе сканирующих приемников и трансиверов // Вестник Астраханского Государственного Технического Университета. Серия: управление, вычислительная техника и информатика. 2014. №1. С. 112-120.
6. Винокуров А.С., Баженов Р.И. Использование метода анализа иерархий для принятия оптимального решения по выбору цифрового фотоаппарата // Современная техника и технологии. 2014. №9 [Электронный ресурс]. URL: http://technology.snauka.ru/2014/09/4438
7. Баженов Р.И. О методике преподавания метода анализа иерархий в курсе «Информационная безопасность и защита информации» // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 4 (36). С. 76.
8. Баженов Р.И. Проектирование методики обучения дисциплины «Интеллектуальные системы и технологии» // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 5-2 (37). С. 48.
9. Баженов Р.И. Проектирование методики обучения дисциплины «Информационные технологии в менеджменте» // Современная педагогика. 2014. №8(21). С. 24-31.
10. Баженов Р.И. О методике обучения проектированию информационных систем будущих менеджеров // Психология, социология и педагогика. 2014. № 8 (35). С. 30-38.
11. Баженов Р.И. Об организации научно-исследовательской практики магистрантов направления «Информационные системы и технологии» // Современные научные исследования и инновации. 2014. №9 [Электронный ресурс]. URL: http://web.snauka.ru/issues/2014/09/38587 (дата обращения: 10.10.2014).
12. Баженов Р.И. О методике преподавания дисциплины «Управление проектами информационных систем» // Современные научные исследования и инновации. 2014. № 3 (35). С. 55.
13. Vexler V.A.,BazhenovR.I., Bazhenova N.G. Entity-Relationship Model of Adult Education in Regional Extended Education System // Asian Social Science. 2014. Т. 10. №20. С.1-14.
14. Ghosha D., Chakraborty D. A new Pareto set generating method for multi-criteria optimization problems // Operations Research Letters. 2014. Т.8. №42. С. 514-521.
15. Grierson D.E. Pareto multi-criteria decision making // Advanced Engineering Informatics. 2008. Т.3. №22. С. 371–384.
16. He H., Zhou N., Zhang R. On estimation for the Pareto distribution // Statistical Methodology. 2014. №21. С. 49–58.
17. BhuniaU., Saha S., Chakrabarti A. Pareto optimal design of sectored toroidal superconducting magnet for SMES // Physica C: Superconductivity. 2014. №505. С. 6–13.
18. Кандырин Ю.В., Сазанова Л.Т., Шкурина Г.Л. Математические модели структурирования альтернатив для решения задач выбора в САПР // Известия Волгоградского государственного технического университета. 2011. Т. 3. № 10. С. 111-115..

Все статьи автора «Баженов Руслан Иванович»