(1.1)

где координаты точек М_i..

то:

; 

Вертикальная плоскость Р₁, проходящая через точки М₁ и М₂ будет изменять своё положение в зависимости от положения точки М₂. Так как эта плоскость параллельна оси oz, то её уравнение при условии бесконечно малого приращения координаты  имеет вид:
А₁х+В₁у+Д₁=0                 (1.2.)

Для точек М₁ и М₂ можно записать: 

                 (1.3)

Определим значение коэффициентов из (1.3.), тогда уравнение плоскости Р₁ с учётом координат точек М₁ и М₂ примет вид:

                 (1.4.)

Рассуждая аналогично, и учитывая, что , получим уравнение плоскости Р₂ с учётом координат точек М₁ и М₂:

                 (1.5)

Двугранный угол между плоскостями Р₁ и Р₂ , есть предельно возможный угол поворота механизма, при котором обеспечивается его устойчивая работа. Этот угол определится по выражению:

                 (1.6)

Учитывая уравнения (1.4) и (1.5) и принимая во внимание, что С₁=С₂ =0, получим:

                 (1.7)

Анализ выражения (1.7) показывает, что при y₁ 0, Cos 0, а 1,57 рад, причём наличие в выражении (1.8) линейного члена у₁ говорит о том, что возможно получение отрицательного значения Cos, а значит угол может превышать значение 1,57 рад. 
На рис. 2 представлена зависимость допустимого угла поворота стрелы, по условию устойчивой работы механизма, от расстояния между нижними опорами гидроцилиндров , и взаимного расположения точки крепления стрелы М₁ и нижних опор гидроцилиндров М₃ и М₄. Можно отметить, что угол может превышать значение 1,57 рад. и асимптотически стремиться к 3,14 рад., причём, если до значения 1,57 рад., большее значение угла достигается при большем значении , то при 1,57 рад. картина изменяется и большее значение угла соответствует меньшему значению . 

Рис. 2 – Зависимость допустимого угла поворота стрелы от параметров исполнительного механизма.

Таким образом, если заданы значения угла поворота и соответствующие длины звеньев, то основными параметрами, определяющими устойчивость трёхгранной пирамиды будет положение точки М₁ в плоскости zoy и расстояние между нижними опорами гидроцилиндров (точки М₃ и М ₄). Определить положения этих точек можно решив систему уравнений, образованную из выражений (1.1) и (1.7):

                 (1.8)

На основании проведённых исследований устойчивости трёхгранной пирамиды были предложены технические решения на уровне изобретения/3,4/, обеспечивающие безопасность работы при значительном расширение рабочей зоны.

где P - нагрузка в грузозахватном оборудовании;

u – скорость опускания груза;

m –  масса груза;

c – приведённая жёсткость грузозахватного оборудования;

G – сила тяжести массы груза.

а)

б)Рисунок 1 – Схема навесного погрузочного манипулятора: 
а) условная; б) расчетная.

В общем случае выражение для динамической составляющей может быть представлено в виде,

где Т- время действия динамической составляющей.

Возмущающее воздействие вызывающее дополнительное динамическое нагружение опорных элементов навесного погрузочного манипулятора, можно рассматривать как силу, действующую некоторое время Т, которое в основном определяется временем срабатывания гидрораспределителя (временем переходного процесса).

Погрузчики напорного действия делятся на фронтальные, фронтально- перекидные, фронтально- поворотные и с телескопической подъёмной рамой.

Погрузчики с поворотной стрелой по кинематике рабочих органов подразделяются на погрузчики грейферные, экскаваторы и краны.

По способу агрегатирования погрузчики с поворотной стрелой делятся на погрузчики, навешиваемые на раму трактора или автомобиля; погрузчики, навешиваемые на систему навески трактора; погрузчики самоходные и погрузчики прицепные.

Погрузчики, навешиваемые на раму трактора или автомобиля, являются наиболее распространёнными. Характерная особенность таких погрузчиков – жёсткость навески и возможность равномерного распределения нагрузки на раму трактора. Основным недостатком этого способа навески является его сравнительно большая трудоёмкость.

Погрузчики, навешиваемые на навесную систему трактора, имеют очень важное преимущество – быстросъёмность, трактор легко освобождается для других видов работ. Для монтажа и демонтажа таких погрузчиков требуется такое же количество трудозатрат, как и для других сельскохозяйственных навесных машин. К недостаткам такого способа относятся сравнительно малая жёсткость, перегрузка узлов и деталей навесной системы и заднего моста трактора.

Основным показателем, регламентирующим безопасность работы рассматриваемых машин и их грузоподъёмность, является устойчивость против опрокидывания. Устойчивость сельскохозяйственных погрузчиков и реализация максимальных усилий на их рабочих органах определяются, прежде всего выбором общих конструктивных решений опорно-ходовой части (формой опорного контура).

На рис. 1…8 приведены кинематические схемы различных типов сельскохозяйственных погрузчиков и их опорные контуры. Опорные контуры удобно характеризовать с помощью опорной формулы / 1 /, которая состоит в общем случае из четырёх групп букв или цифр, разделяемых знаками =, <, >. Первая группа характеризует конструктивный элемент опорно – ходовой части, расположенный впереди погрузчика: это могут быть выносные опоры ( В ), обычно их две, или бульдозерный отвал ( Б ). При отсутствии этих элементов в опорной формуле остаются лишь три и даже две группы. Следующие две группы характеризуют переднюю и заднюю оси погрузчика и состоит каждая из трёх цифр: первая указывает число колёс, вторая – число шин в каждом колесе, третья – число шин данной оси, участвующих в работе опорного контура.

Последняя группа характеризует конструктивный элемент опорно-ходовой части, расположенный сзади погрузчика. Знаки =, < и > между группами характеризует соотношение размеров конструктивных элементов по ширине машины.

Форма опорного контура, представленная на рис. 1, широко используется в современных фронтальных погрузчиках. Обладает значительной продольной устойчивостью. Такая же форма характерна и для прицепных погрузчиков с поворотной стрелой, не имеющих выносных опор (рис. 3). В этом случае она также приемлема так погрузчики оснащаются значительными противовесами. Опорные контуры на рис.2, 5, 7 отличаются друг от друга, прежде всего расположением выносных опор, а также конфигурацией контура.

212 = 212

Рисунок 1 – Фронтальный погрузчик передней (задней) навески.

212 < 212<2В

Рисунок 2 – Грейферный погрузчик с задним расположением выносных опор.

212 = 212

Рисунок 3 – Грейферный прицепной двухосный погрузчик

2В=211=2В

Рисунок 4 – Грейферный прицепной одноосный погрузчик.

212 < 2в > 212

Рисунок 5 – Грейферный погрузчик с жесткой навеской и расположением выносных опор между осями.

Б = 212 =212 < 2В

    Рисунок 6 – Грейферный погрузчик с жесткой навеской.

2в > 212 = 212

Рисунок 7 – Грейферный погрузчик с жесткой навеской и передним расположением выносных опор.

212 = 212 < 2В

Рисунок 8 – Навесной погрузочный манипулятор с шарнирной навеской на трактор посредством навесной системы.

Контур равной боковой и продольной устойчивости, образованный двумя парами выносных опор, представлен на рис. 4. Такой контур для погрузчиков с поворотной стрелой является наиболее предпочтительным.

Широко распространённый контур (рис. 6) для погрузчиков – экскаваторов, образованный бульдозерным отвалом и двумя выносными опорами. Обладает повышенной продольной устойчивостью, необходимой для создания напорного усилия при копании грунта.

Погрузчики, агрегатируемые с трактором посредством трех точечной навесной системы (рис. 8), образуют специфичный опорный контур, который вследствие малой жёсткости навесной системы в поперечном направлении не обеспечивает абсолютной боковой устойчивости погрузчика.

Проведённый анализ показывает общую тенденцию развития сельскохозяйственных погрузчиков:

• колёсные тракторы остаются преобладающей энергетической базой;
• использование навесной системы тракторов для агрегатирования погрузчиков, ввиду явных преимуществ перед жёсткой системой навески.

Известно, что положение точек системы с голономными связями определяется числом независимых величин, равных числу степеней свободы системы. Реальные гидродинамические системы обладают значительным числом степеней свободы вследствие деформируемости их элементов. Однако можно с достаточной степенью точности вводить в расчётную схему ограниченное число деформируемых элементов. 
К наиболее деформируемым элементам относятся опорные элементы НПМ, а также элементы грузонесущего оборудования, например: стрела, рукоять, система трубопроводов, рабочая жидкость гидросистемы.
Кроме того, на характер протекания динамических процессов оказывают влияние диссипативные силы, которые необходимо учитывать при составлении математической модели. 
Для вывода уравнений движения навесного погрузочного манипулятора вокруг ребра опрокидывания были использованы уравнения Лагранжа. Наиболее общая запись этих уравнений имеет вид:

 (1)

где обобщённые координаты механической системы;
 - обобщённые скорости; 
Т- кинетическая энергия системы; 
П-потенциальная энергия системы;
Р_i- обобщённые движущие силы системы, соответствующие обобщённым координатам. 
Поместим центр О неподвижной системы координат хоу в центр шарнира О₁, который является одной из точек ребра опрокидывания. Ориентируем её таким образом, чтобы ось Ох была параллельна опорной поверхности.
Наиболее важным вопросом при изучении движения НПМ является выбор обобщённых координат, которые в значительной степени влияют на сложность уравнений, описывающих механическую систему. За основные координаты определяющие положение несущей рамы манипулятора и остова базовой машины целесообразно выбрать углы их поворота, вокруг соответствующих шарниров φ₁ и φ₂, а положение грузозахватного органа с грузом определится линейной координатой у.
Без существенного снижения точности математической модели, можно положить, что масса груза и приведенная к ней масса грузонесущего оборудования сосредоточены в точке m, также как и распределённая масса несущей рамы манипулятора в точке m₁ и базовой машины в точке m_2.
Таким образом можно сформировать основные допущения, принятые при составлении расчётной схемы и математической модели исследуемого НПМ:Колебания в горизонтальной плоскости незначительны.
Упругие звенья системы, вокруг которых происходит движение, заменяются жёсткими шарнирами.
Распределённые массы сосредоточены в точках m, m₁, m₂.
Жёсткости упругих звеньев линейны.
Внешнее воздействие учитывается выражением:

Общий вид системы дифференциальных уравнений движения механической системы может быть представлен в следующем виде:

 (2)

Введём условные обозначения в расчётной схеме:
 момент инерции несущей рамы манипулятора, относительно ребра опрокидывания, кг с² м.;
 момент инерции остова трактора относительно ребра опрокидывания, кг с² м ;
m – приведённая масса груза, кг;
m₁- масса несущей рамы, кг;
m₂- масса трактора, кг;
-расстояние между опорами несущей рамы, м; колея задних колёс трактора, м; 
L- вылет стрелы, м;
С- приведённая жёсткость грузового подвеса, Н/м;
С₁-жёсткость опорных элементов несущей рамы манипулятора, Н/м;
С₂, С₅-жёсткость опорных элементов трактора, Н/м;
С₃-жёсткость трехточечной навесной системы трактора, Н/м;
к, к₁, к₂, к₅-коэффициенты вязкого трения опорных элементов и гидроцилиндра манипулятора, кг с/м. Вычислим потенциальную энергию исследуемой системы:

(3)
где П₁ – потенциальная энергия массы перемещаемого груза;
П₂ – потенциальная энергия массы несущей рамы манипулятора;
П₃ – потенциальная энергия массы трактора;

Нулевое положение системы будем считать при статическом нагружении. Тогда выражение отдельных составляющих запишутся так:

;

где деформация звеньев от статической нагрузки. 
Потенциальная энергия всей системы:

В положении равновесия при у=0, φ₁=0 и φ₂=0 должны выполняться следующие равенства:

Тогда,

;

Учитывая полученные условия, выражение для потенциальной энергии примет вид:

;

Кинетическая энергия системы может быть представлена в следующем виде:

где Т₁ – кинетическая энергия массы груза; 
Т₂ – кинетическая энергия несущей рамы манипулятора;
Т₃ – кинетическая энергия трактора. 
Перемещаемый груз представлен в виде единичной массы, кинетическая энергия которой имеет вид:

Кинетическая энергия несущей рамы и трактора выражается соответственно:

 
 

Сложив полученные выражения, получим зависимость, определяющую кинетическую энергию системы:

 (4)

Пользуясь полученными значениями П и Т, вычислим соответствующие производные:

  
  

Определим обобщённую силу Р_у, соответствующую возмущающей силе Р:

где δу- приращение обобщённой координаты;
Рδу- работа силы Р на элементарном перемещении, соответствующем приращению у обобщённой координаты.
Аналогично определим обобщённый момент Мφ₁, соответствующий возмущающей силе Р:

где δφ₁-приращение обобщённой координаты;
РLδφ₁-работа момента от силы Р на элементарном перемещении, соответствующем приращению δφ₁ обобщённой координаты. 
Определим функцию рассеивания энергии системы, принимая во внимание, что для малых углов справедливо равенство:

Тогда

     (5)

Соответственно:

     

Кроме того, на систему действуют моменты от сил трения, приведённые к шарнирам О₁ и О₂. Направление действия моментов от сил трения навстречу движению системы, следовательно, будет справедлива следующая запись:

М_т1=-М₁sign ₁;
М_тц2=-М₂sign ₂;

Используя полученные выражения, запишем дифференциальные уравнения движения исследуемой системы в окончательном виде: 

  
 
 

Таким образом, математическая модель навесного погрузочного манипулятора с тремя степенями свободы представлена системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Значения этих коэффициентов определены на основании исходных данных расчётным путём, а также в процессе экспериментальных исследований.

  (1)

       
где,
 момент инерции несущей рамы манипулятора, относительно ребра опрокидывания, кг с² м.;
 момент инерции остова трактора относительно ребра опрокидывания, кг с² м ;
m – приведённая масса груза, кг;
m₁- масса несущей рамы, кг;
m₂- масса трактора, кг;
-расстояние между опорами несущей рамы, м; колея задних колёс трактора, м; 
L- вылет стрелы, м;
С- приведённая жёсткость грузового подвеса, Н/м;
С₁-жёсткость опорных элементов несущей рамы манипулятора, Н/м;
С₂, С₅-жёсткость опорных элементов трактора, Н/м;
С₃-жёсткость трехточечной навесной системы трактора, Н/м;
к, к₁, к₂, к₅-коэффициенты вязкого трения опорных элементов и гидроцилиндра манипулятора, кг с/м. 

Для получения характеристического уравнения необходимо, чтобы система уравнений (1) была однородной. Тогда принимая во внимание то, что возмущение является кратковременным (постоянные внешние воздействия нами учтены при составлении уравнения), а устойчивость движения навесного погрузочного манипулятора рассматривается после снятия возмущающего воздействия; получим для правых частей системы уравнений  Действием моментов трения можно пренебречь 
Составим характеристическое уравнение для системы (1). После несложных преобразований получим характеристическое уравнение в виде многочлена шестой степени:

где m₀=1
m₁=a₃₃-a₃₁;
m₂=a₃₁ a₃₃-a₃₁-2a₂₁;
m₃=a₃₁(a₃₁-a₂₁)+a₂₁(a₃₃+a₃₂);
m₄=2a₂₁ a₃₁-a₃₁ a₂₁ a₃₃- a₃₂ a₂₂+a₂₁-a₁₁ a₁₃;
m₅=a₁₃ (a₃₂-a₂₂ -a₂₁ a₃₁)-a₃₃ (a₁₁a₃₃-a²₂₁);
m₆=a₂₁(a₂₂a₃₂-a₂₁a₃₁)+a₁₁a₃₁a₃₃;
Все коэффициенты m_i характеристического уравнения в общем случае не имеют нулевых значений. Таким образом, характеристическое уравнение рассматриваемой системы в общем случае не имеет нулевых корней. Выполнение этих условий влечёт за собой асимптотическую устойчивость движения системы.
Конкретные условия устойчивости движения агрегата заключается в том,что коэффициенты характеристического уравнения (2), а также определить, составленные из этих коэффициентов имеют положительные знаки/2/

Подставив в выражения m_i значения коэффициентов a_iј, найдём условия устойчивости движения НПМ в виде явных зависимостей между основными его параметрами. 
Обозначив

и учитывая, что I₁, I₂, и m всегда >0, получим:

(3)

 

Если значения m_i подставить в последнее из условий устойчивости Д₅>0, получим ещё одно соотношение между параметрами манипулятора, обеспечивающее устойчивое его движение вокруг ребра опрокидывания. Однако эта зависимость получается очень сложной. 
Некоторые из условий (3) не накладывают ограничений на параметры системы. Например, очевидно, что всегда m₁>0, m₂>0, m₃>0, остальные неравенства могут и не выполнятся. 
Анализируя подробнее полученные условия, следует обратить внимание на параметр c₃, который, судя по знакам выражений, в которые он входит, является стабилизирующим фактором, в том случае, если I₂>I₁,а это значит, что целесообразно его увеличение. 
Заменим в расчётной схеме упругое звено с₃, абсолютно жёстким. Получим новую расчётную схему (рис.1), выполненную по авт.св .№ 1126533.

а)

б)
Рисунок 1 – Схема навесного погрузочного манипулятора:
а) экспериментальная по а.с. №1126533;
б) с блокировкой переднего моста.

где    
   
Таким образом, в данном случае движение описывается системой двух неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. 
Очевидно, что действие параметров с₁ и с₂ аналогично, однако их увеличение сопряжено с рядом технических трудностей и поэтому вряд ли оправдано. Достичь их увеличения можно косвенным путём, а именно обеспечить блокировку переднего моста трактора, что позволит использовать жёсткость его опорных элементов. Тогда расчётная схема может быть представлена в виде, показанном на рис. 1, а её движение описано следующей системой уравнений:
 (5) 
где

   
 
 

Зависимость (5) выражает устойчивость невозмущённого движения вообще (устойчив, неустойчив), т.е. поведение системы после снятия возмущающего воздействия и не даёт количественной оценки отклонения от начального положения при возмущении. Хотя движение может быть асимптотически устойчивым, а амплитуда этого движения может превышать установленные пределы. 
Критическим в отношении потери устойчивости навесного погрузочного манипулятора считаем случай нарушения контакта, хотя бы одной из опор с основанием под действием динамических сил. Как указано /3/ отрыв опоры от основания в некоторых случаях близок к опрокидыванию. Кроме того, отрыв опоры от основания и последующие её нагружения вызывают значительные динамические ударные нагрузки /4/, а непостоянный характер связей опорных элементов с основанием вызывает значительную сложность в исследовании устойчивости. 
В связи с этим некоторые исследователи вводят понятие “практической ” устойчивости /5/. Трудности анализа “практической” устойчивости состоит в том, что для систем подобных рассматриваемой не существует достаточно простых и достаточно общих критериев. По существу единственный способ проверки устойчивости заключается в построении реакции обобщённой координаты на возмущающее воздействие. 
Для определения реакции обобщённой координаты на возмущающее воздействие, как правило проводится численное решение систем уравнения. 
В качестве критерия принимаем /3/:

где реакция i-ой опоры.