Оценка устойчивости неконсервативных стержневых систем методом сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке

Шеин Александр Иванович — Wed, 26 Nov 2014 15:04:11 +0000

В задах сейсмики сооружений [1,2,3,4,5], ветровых колебаний [6,7], или в физически нелинейных задачах при учете истории нагружения [8, 9,10] необходимо отслеживать состояние системы с оценкой устойчивости.
Строительные конструкции из железобетона или из стали, работающей в упруго-пластической стадии, являются нелинейными и неконсервативными механическими системами. Нагрузки на эти конструкции часто не описываются однопараметрическим способом. Поэтому бифуркационная модель исследования устойчивости не всегда может с достаточной точностью оценивать характер равновесия таких механических систем. Наиболее точно произвести оценку состояния и устойчивости здесь позволяет динамический подход, в том случае если с удовлетворительной полнотой воспроизвести инерционные и демпфирующие свойства системы.
Для оценки устойчивости указанных сооружений целесообразно исследовать их отклики на приращение векторов кинематических параметров данного равновесного состояния элементов. Предпочтение кинематического возмущения перед силовым обусловливается двумя основными причинами: во-первых, природа потери устойчивости второго рода связана с развитием ранее достигнутых деформаций; во-вторых, перебрать все возможные направления силовых возмущений практически нельзя из-за их многообразия. Для ответа на вопрос: «Устойчива ли данная система по отношению к кинематическому возмущению?» – необходимо выполнить следующие операции:1) дать кинематическое возмущение (приращения к перемещениям) данному равновесному состоянию;
2) исследовать движение системы в течение определённого промежутка времени. Этот промежуток времени является периодом предельно низкой допустимой частоты колебаний данной механической системы;Если система, в течение указанного времени, совершила колебательное движение – она устойчива. В противном случае система неустойчива.
Другими словами здесь оценивается наличие и достаточность обобщённой восстанавливающей силы (для непередемпфированных систем).
Данное исследование удобно строится на основе метода сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке.
Пусть заданное исходное состояние элемента конструкции описывается векторной функцией:
, (1)
где
₍₂₎
n – мерные вектора продольного и двух поперечных перемещений точек продольной оси и угла поворота сечения стержня вокруг этой оси.
Если не выделять приоритетно какие-либо перемещения, то возмущённая векторная функция (1) может быть записана в виде:

, (3)

где k – коэффициент (модуль) возмущения, k>1.
При назначении коэффициента возмущения нет определённых критериев, однако, при исследовании устойчивости данного положения равновесия целесообразно брать его достаточно близким к единице.
При использовании гипотезы плоских сечений продольные деформации в точках сечения элемента в данном равновесном состоянии определяются зависимостью:
_, (4)
представленной в конечно-разностном виде, а деформации возмущённого состояния равенством
. (5)
В динамическом расчёте кинематически возмущённое состояние является начальным условием движения.
Уравнения движения элемента системы из возмущённого состояния имеют вид:

(6)

Для решения задачи используются или двойная конечно-разностная аппроксимация функций перемещений и их производных по геометрической и временной координатам, или метод линейного ускорения. Таким способом делается переход от интегро-дифференциальных уравнений к интегральным. При помощи дополнительных сеток, наложенных на поперечные сечения и боковые грани участка стержня, задача сводится к решению алгебраической системы уравнений.
В начальный момент времени

, (7)
, (8)
(9)

Производя движение по временной координате от до , определяем характер движения. Характер движения из возмущённого положения даёт возможность классифицировать исходное состояние равновесия с точки зрения его устойчивости.

Электронный научно-практический журнал «Современная техника и технологии» » critical load

Оценка устойчивости неконсервативных стержневых систем методом сеточной аппроксимации элементов в динамической постановке