В настоящей работе рассматривается задача трехпозиционного регулирования тока в обмотках, известная как режим смешанного спада тока (mixed decay mode) [1]. Многие серийно выпускаемые интегральные драйверы шаговых двигателей реализуют данный режим управления, например A3986, A4975 фирмы Allegro или LB11847 фирмы On Semiconductor [1,2].

1. Алгоритм контроллера тока

Типичный алгоритм работы релейного контроллера тока можно описать следующим образом.
Пусть задана уставка тока . Сигнал с датчика (резистивного шунта) известен как . Как только реальный ток становится больше заданного , то контроллер выключает питание обмотки на фиксированное время .

Режима смешанного спада тока основывается на том, что отключение обмотки шагового двигателя с помощью мостовой драйвера может быть выполнено двумя путями: циркуляцией тока через открытый транзистор противоположного плеча или через обратные диоды транзисторов моста (рисунок 1). В первом случае реализуется т.н. режим медленно спадающего тока (slow decay mode), во втором случае – режим быстро спадающего тока (fast decay mode). Предположим, что обмотка была подключена к источнику питания, и ток в ней достиг заданного уровня. После чего релейный регулятор тока отключает обмотку на время . В режиме смешанного спада тока сначала активируется быстрый спад на фиксированное время , а потом – медленный спад на интервале времени от до .

Рисунок 1. Быстрый (fast), медленный (slow) и смешанный (mixed) спад тока.

2. Процессы переключения между быстрым и медленным спадом тока

Пусть значение уставки тока уменьшается . Проанализируем каким образом осуществляются переключения в режиме смешанного спада тока. Пусть в некоторый момент времени произошло отключение обмотки после того, как . Без потери общности, положим для упрощения анализа, что , а также .

Предположение 1. На интервале времени выключения токи и изменяются линейно.

Обозначим линейную скорость уменьшения уставки тока на интервале :

.

Пусть также – скорость уменьшения тока в режиме быстрого спада, – скорость уменьшения тока при медленном спаде.
Введем в рассмотрение переменную – отношение длительности быстрого спада тока к интервалу

.

Отсюда можно записать кусочно-линейную аппроксимацию тока:

.

Ток на момент окончания периода отключения обмотки будет равен:

.

Введем в рассмотрение рассогласование между уставкой тока и действительным током в обмотке на момент окончания периода отключения обмотки.

.

На рисунке 2 показан пример динамики тока при переключении между режимами быстрого и медленного спада.

Рисунок 2. Траектория уставки тока и переключение между быстрым и медленным спадом (при ).

Утверждение 1. Регулирование тока при спадающем возможно только если

.

Сделанное утверждение понятно после рассмотрения алгоритма работы регулятора. Если ток в обмотке включается всегда после независимо от того необходимо это или нет, то для непрекращающегося спада тока необходимо выполнение следующего условия для каждого момента включения обмотки:

.

3. Оптимальное управление

Утверждение 2. Оптимальное управление по критерию

достигается при .

Утверждение очевидно из геометрических соображений (рисунок 2).

Из утверждения 2 следует, что задача оптимального управления по может быть решена как задача стабилизации , например, с помощью ПИД-регулятора.

Если рассмотреть поведение на большом количестве периодов переключения, то среднее значение может быть получено усреднением с помощью фильтра низких частот первого порядка:

,

где , – оператор Лапласа.

Подставляя значение , получаем динамику в виде

.

Отбрасывая постоянное возмущение , получаем в операторном виде модель объекта управления как систему первого порядка:

, (1)

где .

Задача управления системой первого порядка (1) может быть решена с помощью ПИ-регулятора. Пример расчета параметров ПИ-регулятора по коэффициенту усиления и постоянной времени приведен, например в [3].

4. Моделирование

Для подтверждения работы алгоритмы был проведен ряд численных экспериментов с помощью моделирования в Matlab/ Simulink. Параметры модели двигателя приведены в работе [4].

Представленные ниже результаты описывают моделирование только одной обмотки двигателя. Ток во второй обмотке полагался равным уставке. Регулятор работает с интервалом времени отключения мкс (20 кГц).

На рисунке 3 показано как регулируется ток в обмотке в режиме медленного спада тока. Как видно, ток в обмотке существенно отклоняется от уставки.

Рисунок 3. Ток в обмотке при фиксированном (только режим медленного спада тока).

На рисунке 4 представлена динамика тока при постоянном соотношении . Как видно, ток имеет существенные пульсации, но в целом следует за уставкой.

Рисунок 4. Ток в обмотке при фиксированном (режим смешанного спада тока).

На рисунке 5 представлена динамика тока при предложенном оптимальном управлении для с помощью минимизации рассогласования . В этом случае, достигаются минимальные пульсации и ток следует за уставкой. Соответствующее этому режиму управление представлено на рисунке 6.

Рисунок 5. Ток в обмотке при оптимальном управлении по .

Рисунок 6. Управление .