Рис. 1. Внешний вид концевых фрез со сферическим торцем.

Режущая кромка на сферическом участке представляет собой сложную пространственную кривую представленную уравнениями в параметрическом виде с параметром в виде угла φ: 
 (1) 
где x,y,z – координаты текущей точки; 
R – радиус сферы;
Н – шаг винтовой линии;
φ – угловое положение текущей точки;

 Рис. 2. Расчетная схема для определения координат точек режущей кромки [2].

В работе [1] приводятся рекомендации по выбору угла наклона винтовой линии , который численно совпадает с углом наклона главной режущей кромки на цилиндрическом участке фрезы.При этом угол наклона главной режущей кромки на сферическом участке будет отличным от угла . Недостатком работы [1] является неоптимальный выбор геометрии в рабочей зоне.
В работе [3] режущая кромка инструмента рассматривается как линия пересечения архимедова геликоида с фасонной поверхностью. Винтовая линия может быть с постоянным и переменным шагом. При постоянном шаге наблюдается изменение угла наклона винтовой линии и соответственно фактического переднего угла с изменением радиуса образующей, что при большом перепаде диаметров исходной инструментальной поверхности (ИИП)инструмента, около (1,5 – 2 )d, вызывает изменение наклона винтовой линии на 30-40%. Это обстоятельство обуславливает применение винтовой линии постоянного шага только на фасонном инструменте с небольшим перепадом кривизны образующей. На других поверхностях следует применять винтовые линии переменного шага, изменяющие угол наклона винтовой линии в зависимости от изменения радиуса образующей исходной инструментальной поверхности (рис.3) [3].

Рис.3. Режущая кромка на фасонной поверхности [3]

Применение винтовой линии переменного шага вызывает технологические трудности при изготовлении инструмента. Для инструмента с небольшим перепадом кривизны целесообразно применение винтовой линии с постоянным шагом.
В работе [4] приведены зависимости для определения координат точек режущей кромки концевой фрезы со сферическим торцем. Режущая кромка этой фрезы расположена на винтовой линии с постоянным шагом (рис.4):

Рис.4. Концевая фреза со сферическим торцем.

Для эффективного использования концевой фрезы со сферическим торцем необходимо назначить оптимальный угол наклона винтовой линии в рабочей зоне.
В работе[1] предлагается метод определения оптимального угла наклона винтовой линии, численно совпадающего с углом наклона режущей кромки на сферическом участке концевой фрезы.При проектировании необходимо задаться углом наклона винтовой линии на рабочем участке. При этом величина угла выбирается в зависимости от обрабатываемого материала, условий обработки и требуемого качества.
Пространственная кривая, заданная уравнением в параметрическом виде: 
 (2)
Уравнение угла наклона режущей кромки на сферическом участке определим как угол наклона касательной к оси z:
(3)
Возьмем производную x, y, zпо параметру φ:

После возведения в квадрат, получим:

Просуммировав полученные выражения, получим:

После подстановки результата в уравнение (3), получим следующее выражение
(4)

Угол наклона винтовой линии на цилиндре будет отличаться от угла наклона винтовой линии в рассматриваемой точке рабочей зоныс, которые связаны между собой следующей зависимостью:

,(5)
где H – шаг винтовой линии: ;
R – радиус концевой фрезы;
- угол положения текущей точки;
- угол наклона винтовой линии на цилиндрическом участке;
с - угол наклона винтовой линии в рассматриваемой точке рабочей зоны[5].
Данная зависимость решается численными методами – метод половинного деления.
Проектирование, заключающееся в назначение геометрии угла наклона винтовой линии в рассматриваемой точке рабочей зоны, позволит выдержать требуемое качество поверхности с заданными условиями обработки для заданного материала обрабатываемой детали [2].
С целью обеспечения постоянства угла наклона режущей кромки на сферическом участке, фреза может выполняться с переменным шагом. При этом величина шага в рассматриваемой точке определяется следующей зависимостью:
(6)
где  – радиус рассматриваемой точки в сечении перпендикулярной оси. 
Радиус , определяется из прямоугольного треугольника, показанного на рис. 5 и равен:

где h – расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки вдоль оси фрезы;
 – радиус сферы.
После подстановки значения  в уравнение (6), получим:
(7)

Рис.5 Схема винтовой линии с переменным шагомна сферическом участке

Обработку такого инструмента можно осуществить на станке с ЧПУ, изменяя скорость подачи в осевом направлении.