Целью работы является исследование позиционирования шлифовального круга при обработке винтовых стружечных канавках с постоянным углом наклона на эллипсоидных борфрезах.
Результаты исследования сделают процесс позиционирования более наглядным и послужат основой разработки программ ЧПУ для различных станков.
Задачами работы являются выведение необходимых математических операций позиционирования шлифовального круга, и проверка расчетов в среде 3D моделирования T-flex CAD.
Для проведения расчетов представим дно винтовой стружечной канавки эллипсоидной борфрезы в виде эллипсоида с вершиной в точке начала общей системы координат
, а шлифовальный круг в виде усеченного конуса со своей системой координат
с вершиной в точке центра его основания
, совпадающей с точкой
. В начальном положении
находиться в начале общей системы координат и направления осей сонаправлены общим
соответственно, как показано на рис. 1.
Рис. 1 Начальное положение: А – шлифовального круга; B – борфрезы
Для математического представления поворотов и перемещений использовался матричный метод представления. При позиционирования шлифовального круга необходимо выполнить следующие преобразования его системы координат в каждой точке, относительно траектории винтовой стружечной канавки с постоянным углом наклона:
1. Поворот на угол касательной к эллипсоиду вокруг оси
;
2. Поворот на угол наклона винтовой канавки вокруг оси
;
3. Поворот на угол вокруг оси
;
4. Перемещение в рассматриваемую точку на эллипсоиде;
5. Перемещение по на расстояние равное радиусу шлифовального круга;
6. Перемещение в конечную точку от поворота на угол .
Первым шагом в позиционировании является поворот системы координат шлифовального круга на угол касательной к эллипсоиду. В плоскости
уравнение эллипса, смещённого относительно начала координат вправо, выглядит следующим образом:
![]() |
(1) |
где – большая полуось эллипса,
– малая полуось эллипса,
– координата рассматриваемой точки по оси
, y – координата рассматриваемой точки по оси
.
Выразив y, получаем выражение:
![]() |
(2) |
Отсюда находим угол наклона касательной :
![]() |
(3) |
Матрица вращения вокруг оси круга выглядит следующим образом:
![]() |
(4)
|
где – угол поворота.
Представляем оси системы координат начального положения шлифовального круга в виде единичных векторов
,
и
. Умножаем матрицу
на каждый вектор по отдельности. Получаем вектора
,
и
:
![]() |
(5)
|
На рис.2 показана схема поворота системы координат шлифовального круга на угол касательной к эллипсу .
Рис. 2 Поворот на угол kas
Чтобы задать угол наклона винтовой канавки , нужно повернуть систему координат
на угол вокруг вектора
для этого напишем матрицу
:
![]() |
(6)
|
где ,
и
точки задающие положение единичного вектора
, направленного по нормали к точке на эллипсе.
Поворачиваем систему координат на угол наклона винтовой канавки
, перемножив на матрицу
:
![]() |
(7)
|
Рис. 3 Поворот на угол наклона винтовой канавки w
Выполненных поворотов достаточно для образования канавки нужного профиля. Однако, тогда бы требовалось дополнительное, редко присутствующее, движение на станке для вращения круга в процессе обработке вокруг оси так, чтобы вектор
был всегда направлен по нормали к эллипсу. Чтобы уйти от него поворачиваем систему координат круга на угол
вокруг оси
таким образом, чтобы вектор
лежал в плоскости
. Вычисляем угол
:
![]() |
(8)
|
где и
проекции вектора
на оси
и
соответственно.
Матрица поворота на угол вокруг оси Х выглядит так:
![]() |
(9)
|
Поворачиваем систему координат на угол
, перемножив на матрицу
:
![]() |
(10)
|
Вектора задают положение системы координат шлифовального круга после всех поворотов. На рис.4 представлен поворот круга на угол
:
Рис. 4 Поворот системы координат круга на угол
Предыдущие преобразования мы делали в начале системы координат . Теперь нужно переместить систему координат шлифовального круга
в нужное положение относительно заготовки. Потребуется матрица перемещения в рассматриваемую точку на эллипсе
:
![]() |
(11)
|
– координата рассматриваемой точки по оси
, y – координата рассматриваемой точки по оси
.
Перейдём к матрице перемещения на радиус шлифовального круга по нормали к эллипсу . В качестве нормали используем вектор
. Чтобы задать значения перемещения нужно разложить вектор по значению равный радиусу шлифовального круга
направленный по нормали
на составляющие
и
:
![]() |
(12)
|
![]() |
Таким образом матрица будет равна:
![]() |
(13)
|
Последнее перемещение нужно после поворота на угол вокруг оси
, его можно рассчитать следующим образом:
![]() |
(14)
|
![]() |
где и
параметры на которые нужно переместить центр круга по оси
и
соответственно.
Тогда последняя матрица перемещения будет равна:
![]() |
(15)
|
Применим расчеты для начальной точки , получив
:
![]() |
(16)
|
Наглядно перемещения начальной представлены на рис. 5.
![]() |
![]() |
![]() |
а)
|
б)
|
в)
|
Рис. 5 Схема перемещения центра круга |
В целях проверки полученных матричных преобразований проведём аналогичные действия в среде 3-х мерного параметрического моделирования T-flex CAD и сверим результаты. Для этого зададим конкретные значения параметров (табл. 1):
Исходные данные
|
Таблица 1
|
||
Переменная
|
Значение
|
Описание
|
|
a
|
25
|
Большая полуось эллипса | |
b
|
10
|
Малая полуось эллипса | |
R
|
30
|
Радиус шлифовального круга | |
w
|
30
|
Угол наклона винтовой стружечной канавки |
По ним рассчитаем направления осей системы координат , и положение точки центра круга
. Результаты расчета представлены в табл. 2.
Результаты расчета
|
Таблица 2 | ||
Переменная
|
Значение
|
Описание
|
|
![]() |
(0.697; -0.649; 0.303)
|
Единичный вектора системы координат шлифовального круга ![]() |
|
![]() |
(0.595; 0.760; 0.259)
|
||
![]() |
(-0.399 ; 0; 0.917)
|
||
![]() |
(-14.862; 27.247; -9.683)
|
Центр основания шлифовального круга |
Результат визуализации представлен на рис. 6.
Рис. 6 Визуальное представление в среде T-flex CAD
Модель обработки выглядит предполагаемым образом и все численные результаты совпадают с расчетными. Следовательно, расчетные данные верны и ими можно оперировать при написании программы ЧПУ.
Библиографический список
- Петухов, Ю.Е. Формообразование численными методами / Ю.Е. Петухов. – М. : «Янус-К», 2004. – 200 с.
- Гречишников, В.А. Математическое моделирование в инструментальном производстве / В.А. Гречишников, Н.В. Колесов, Ю.Е. Петухов. – М. : МГТУ «СТАНКИН». УМО АМ, 2003. – 116 с.
- Петухов, Ю.Е. Проектирование инструментов для обработки резанием деталей с фасонной винтовой поверхностью на стадии технологической подготовки производства : дис. … докт. техн. наук : 05.03.01 / Ю.Е. Петухов. – М., 2004. – 393 с.
- Петухов, Ю.Е. Численные модели режущего инструмента для обработки сложных поверхностей / Ю.Е. Петухов, Н.В. Колесов // Вестник машиностроения. – 2003. – №5. – С. 61-63.
- Петухов, Ю.Е. Профилирование режущих инструментов среде Т-flex CAD-3D / Ю.Е. Петухов // Вестник машиностроения. – 2003. – №8. – С. 67-70.
- Петухов, Ю.Е. Способ формообразования фасонной винтовой поверхности стандартным инструментом прямого профиля / Ю.Е. Петухов, П.В. Домнин // Вестник МГТУ «СТАНКИН». – 2011. – №3. – С. 102-106.
- Колесов, Н.В. Система контроля сложных кромок режущих инструментов / Н.В. Колесов, Ю.Е. Петухов // ИТО: Инструмент. Технология. Оборудование. – 2003. – №2. – С. 42-45.
- Петухов, Ю.Е. Компьютерная модель формообразования сложной поверхности / Ю.Е. Петухов, П.В. Домнин // Международная научно-техническая конференция «Автоматизация: проблемы, идеи, решения». В 2 т. : сб. науч. ст. – Тула, 2010. – Т. 1. – С. 197-200.
- Колесов, Н.В. Компьютерная модель дисковых фасонных затылованных фрез / Н.В. Колесов, Ю.Е. Петухов, А.В. Баринов // Вестник машиностроения. – 1999. – №6. – С. 57-61.
- Домнин, П.В. Решение обратной задачи профилирования на базе схемы численного метода заданных сечений / П.В. Домнин, Ю.Е. Петухов // Справочник. Инженерный журнал с приложением. – 2011. – №11. – С. 26-29.
- Колесов, Н.В. Математическая модель червячной фрезы с протуберанцем / Н.В. Колесов, Ю.Е. Петухов // СТИН. – 1995. – №6. – С. 26-29.
- Колесов, Н.В. Два типа компьютерных моделей режущего инструмента / Н.В. Колесов, Ю.Е. Петухов // СТИН. – 2007. – №8. – С. 23-26.
- Петухов, Ю.Е. Точность профилирования при обработке винтовой фасонной поверхности / Ю.Е. Петухов, П.В. Домнин // СТИН. – 2011 – №7. – С. 14-17.
- Петухов, Ю.Е., Математическая модель криволинейной режущей кромки спирального сверла повышенной стойкости / Ю.Е. Петухов, А.А. Водовозов // Вестник МГТУ «СТАНКИН». – 2012. – №3. – С. 28-32.
- Петухов, Ю.Е. Некоторые направления развития САПР режущего инструмента / Ю.Е. Петухов // СТИН. – 2003. – №8. – С. 26-30.
- Петухов, Ю.Е. Затачивание по передней поверхности спиральных сверл с криволинейными режущими кромками / Ю.Е. Петухов, А.А. Водовозов // Вестник МГТУ «СТАНКИН». – 2014. – №1 (28). – С. 39-43.
- Petukhov, Y.E. Shaping precision in machining a screw surface / Y.E. Petukhov, P.V. Domnin // Russian Engineering Research. – 2011. – T. 31. – №10. – С. 1013-1015.
- Kolesov, N.V. Computer models of cutting tools / N.V. Kolesov, Y.E. Petukhov // Russian Engineering Research. – 2007. – T. 27. – №11. – С. 812-814.
- Petukhov, Y.E. Determining the shape of the back surface of disc milling cutter for machining a contoured surface / Y.E. Petukhov, A.V. Movsesyan // Russian Engineering Research. – 2007. – T. 27. – №8. – С. 519-521.