В относительно простых задачах управления наземные транспортные средства можно можно рассматривать как геометрическую точку, движущуюся в двумерном пространстве с введенной декартовой системой координат (). Траектория точки является кривой, заданной параметрическими уравнениями

.

В более общих задачах управления движение системы определяется как движение точки в многомерном пространстве. Указываются определенные условия (в частности: траектория должна проходить от точки  до точки ; лежать в заданной области; минимизировать время или затраты по управлению). Далее формируется последовательность инструкций для оператора. Например, в момент времени  угол поворота  руля в заданном направлении должен составлять . Всегда делается различие между переменными состояния , которыми задается положение и ориентация системы, и переменными  управления (точные сведения оператору). Как правило, при моделировании это различие означает, что при изменении  изменяется положение объекта, однако координаты  непосредственно не оказывают влияния на : оператору оставляется возможность изменять  в достаточно широких пределах (возможны и ограничения на ). 
Математическая модель задачи управления состоит из двух систем функций

 и .

Указанные векторы принадлежат пространствам разных размерностей. Уравнения движения могут быть как алгебраическими:

,

так и дифференциальными:

.

С позиций разработки тренажных и обучающих комплексов для подготовки операторов человеко-машинных систем рассмотрим моделирование продольного движения в авиационном тренажере. Известно [1], движение (симметричный полет в спокойной атмосфере, постоянная тяга, нулевой угол установки крыла) приближенно описывается системой уравнений:

,
,
,
.

Приняты обозначения:  - скорость полета,  - угол тангажа,  - угол наклона траектории, - высота полета,  - горизонтальная дальность полета,  - масса самолета,  - площадь крыла, - сила веса,  - сила тяги,  - момент инерции самолета относительно оси, проходящей через центр тяжести (направлена по нормали к плоскости симметрии),  - средняя аэродинамическая хорда крыла,  - угол атаки, - аэродинамические коэффициенты (зависят во время полета от значений , и угла  отклонения руля высоты),  - плотность воздуха (функция высоты ).
Система уравнений движения содержит семь неизвестных при шести уравнениях, что недостаточно для определения полета при заданных начальных условиях. Неопределенность можно исключить введением информации об отклонении  руля высоты как функции времени. Если положение руля высоты известно и , то состояние системы определяется переменными ,,,,,. При прямолинейном горизонтальном полете с постоянной скоростью все эти величины, за исключением , постоянны, а  - функция времени. При этом ===0. Этому режиму полета соответствует фазовая траектория – прямая в шестимерном фазовом пространстве. Если эту траекторию выбрать в качестве опорной, то значения ,, и функция  определятся как решения систем уравнений

,
,
,
.

При значениях фазовых координат ,,,,, в рассматриваемом горизонтальном полете, разлагая функции  по степеням своих аргументов в сходящиеся ряды Тейлора в окрестности опорной фазовой траектории, из последней системы получим систему уравнений в вариациях с постоянными коэффициентами (неизвестные переменные – отклонения фазовых координат от их значений на опорной фазовой траектории). Полученная система уравнений в малой окрестности опорной фазовой траектории и даст приближенный закон движения рассматриваемой динамической системы (линейная в малом). 
Обычно продольное движение состоит из коротко- и длиннопериодической составляющей. При проектировании тренажеров, в основном, исходят из короткопериодической составляющей. Из предыдущего, после незначительных преобразований уравнения короткопериодического движения с учетом запаздывания можно представить в виде

,
,
,
,
.

По этим уравнениям устанавливалось влияние технических параметров объекта на структуру вектора управления

.

В ряде случаев в качестве координат  рассматривались: значения резонансных частот  в спектре , вероятности , , средняя амплитуд  и длительность в управляющих воздействиях.
При ретроспективной идентификации управляющих воздействий использовались синхронные измерения  в процессе нормального функционирования. Сравнение векторов управления в условиях тренажера и реальном полете весьма эффективно позволило осуществить оценку имитационных характеристик обучающего комплекса [2…8].

1. Авиационные тренажеры модульной архитектуры: монография; под редакцией Лапшина Э.В., д.т.н., проф. Данилова А.М. – Пенза: ИИЦ ПГУ.  – 2005.  – 146 с.
2. Данилов А.М., Гарькина И.А. Математическое моделирование сложных систем: состояние, перспективы, пример реализации / Вестник гражданских инженеров. –  2012. –  № 2.  – С. 333-337.
3. Данилов А.М., Гарькина И.А., Гарькин И.Н. Защита от удара и сопровождающей вибрации: экспоненциально-тригонометрическая аппроксимация функций / Региональная архитектура и строительство. – 2012. – № 3. – С. 85-88.
4. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М. Приближенные методы декомпозиции при настройке имитаторов динамических систем / Региональная архитектура и строительство. – 2013. – № 3. – С. 150-156
5. Гарькина И.А., Данилов А.М., Петренко В.О. Проблема многокритериальности при управлении качеством сложных систем / Мир транспорта и технологических машин. – 2013. –№ 2 (41). – С. 123-129.
6. Будылина Е.А., Данилов А.М., Пылайкин С.А., Лапшин Э.В. Тренажеры по подготовке операторов эргатических систем: состояние и перспективы /Современные проблемы науки и образования. –2014.  – № 4. – С. 154.
7. Будылина Е.А., Гарькина И.А., Данилов А.М., Пылайкин С.А. Аналитическое определение имитационных характеристик тренажных и обучающих комплексов /Фундаментальные исследования. – 2014. – № 6-4. – С. 698-702.
8. Гарькина И.А., Данилов А.М., Пылайкин С.А. Транспортные эргатические системы: информационные модели и управление /  Мир транспорта и технологических машин. – 2013. – № 1 (40). –  С. 113-120.

Все статьи автора «fmatem»