В современном комплексном анализе важнейшей областью является теория краевых задач для аналитических функций и различных их обобщений. Система компьютерной математики Maple при введении некоторых ограничений на классы заданных и искомых функций позволяет значительно упростить получение ответа с помощью последовательности не только приближенных, но и символьных преобразований.
1. Постановка задачи. Пусть
, 
. Через T– будем обозначать дополнение T+UL до полной комплексной плоскости.
Рассматривается следующая краевая задача. Требуется найти все метааналитические функции F+(z) класса
, удовлетворяющие на L следующему краевому условию:
(1)
где 
– производная по внутренней нормали к L, а 
заданные на L функции класса H(L), причем
.
Отметим сразу, что при 
задача (1) представляет собой задачу Неймана в классах метааналитических функций. Поэтому при 
сформулированную задачу будем называть видоизмененной задачей типа Неймана для метааналитических функций или короче задачей N.
2. О решении видоизмененной задачи Неймана в круге. Используя представление метааналитической функции через аналитические (см. [1], c. 139) в случае 
, устанавливается следующий основной результат (см. [4], c. 99).
Теорема. Решение задачи (1) сводится к решению обычной скалярной задачи Римана вида:
(2)
где 
а функции 
и
определенным образом выражаются через аналитические компоненты искомой метааналитической функции
.
Необходимо отметить, что задача Неймана (т.е. задача (1) при 
) в классе метааналитических функций не является нетеровой (см. также [2], [3]), однако в случае 
видоизмененная задача типа Неймана для метааналитических функций нетеровой является.
3. Описание процедуры ExactNeumann.
Опишем основные особенности процедуры ExactNeumann, реализующей алгоритм решения рассмотренной выше задачи.
Процедура имеет 4 входных параметра: числовые параметры а1, а0 характеристического уравнения для искомой метааналитической функции
, а также функциональные параметры gb и gs условия (1). Учитывая результаты, полученные в статье Адукова В.М. [5], можно сделать вывод о необходимости дополнительных требований к параметрам a0 и a1, а также функциям 
условия (1). Эти требования позволяют применить возможности символьных вычислений системы Maple и получить результат в виде, доступном для дальнейшего использования.
Перед обращением к процедуре требуется подключить пакет LinearAlgebra. Тогда обращение к процедуре будет иметь вид:
Рис.1. Способ обращения к процедуре ExactNeumann
В результате использования указанных начальных данных получен следующий результат:
Рис.2. Результат работы процедуры ExactNeumann
Так как точные вычисления предполагают использование численных методов рациональной арифметики, то контроль за рациональностью коэффициентов задачи Римана (2) на данном уровне решения проблемы обеспечивает пользователь, однако дальнейшее решение, в том числе и проверка условий разрешимости, осуществляется программно, и в случае их не выполнения процедура выдает соответствующее сообщение и прекращает работу.
Библиографический список
- Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. – Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. – 345 с.
- Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981.
- Закарян А.А. Корректные граничные задачи для уравнения Бицадзе / Ереванск. Политехн. Ин-т. – Ереван, 1988. –34 с. – Деп. в АрмНИИНТИ 24.08.88, № 66-Ар88.
- Расулов К.М., Сенчилов В.В. О нетеровости одной видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге // Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы междунар. конф., СГПУ, Смоленск, 2001, С. 93 – 100.
- Адуков В.М. О точном и приближенном решении задачи факторизации Винера-Хопфа для мероморфных матриц-функций // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та, серия «Математика, физика, химия». – 2008. – № 7(107), вып. 10 – С. 3–12.