В связи с развитием вычислительной техники прогрессирует заинтересованность к численным методам, а в частности к статистическому моделированию.
Наиболее популярным методом является метод Монте Карло. Под методом Монте-Карло понимается численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин, в частности мы рассмотрим геометрический подход к методу Монте Карло.
Рассмотрим задачу определение площади фигуры, например, представленной на рис. 1.
Фигура может быть любой, но обязательно должны быть известны:
- границы фигуры, в виде аналитического выражения или совокупности таких выражений и логических условий;
- площадь в виде прямоугольника, (ABCD) часть которой занимает исследуемая фигура (ABC).
- Рисунок 1 – Площадь искомой фигуры
В исследуемом примере фигура определяется с помощью уравнения: F(x)=. Границы фигуры определяются: Xmin=0, Xmax=4, y=0. Площадь фигуры в данном случае будет равна: Sф=4*73=292 см(2). Этот диапазон показывает, где именно мы раскидываем случайные числа.
Далее мы рассмотрим алгоритм решения данной задачи.
Производим генерацию случайного числа Х в пределах от 0 до 4 и после чего генерируем случайное число в промежутке от 4 до 73, которое соответствует Y. Размещаем 1000 случайных точек на графике (рисунок 2).
- Рисунок 2 – 1000 случайных точек
Координаты случайных точек и их попадание на фигуру вычислены таблицей 1.
| № | x случ | F(x) – закон | F(x) -случ |
Число попаданий |
|
1 |
0,538838 |
2,234125058 |
34,69163 |
0 |
|
2 |
1,28551 |
5,695370121 |
29,0526 |
0 |
|
3 |
3,825214 |
64,62194023 |
37,3337 |
1 |
|
4 |
3,969248 |
71,47373233 |
17,56046 |
1 |
|
5 |
2,749447 |
27,28321951 |
28,08433 |
0 |
|
6 |
1,603382 |
8,328792343 |
26,23223 |
0 |
|
7 |
3,748766 |
61,17985405 |
58,86238 |
1 |
|
8 |
2,789754 |
28,29141267 |
14,80519 |
1 |
|
9 |
2,155158 |
15,32038831 |
25,34678 |
0 |
|
10 |
0,958186 |
3,79610279 |
14,52403 |
0 |
|
11 |
0,218288 |
1,446978402 |
41,8837 |
0 |
|
12 |
2,532098 |
22,2988036 |
33,72196 |
0 |
|
13 |
0,065544 |
1,131370271 |
29,40505 |
0 |
|
14 |
1,365199 |
6,274815343 |
9,814045 |
0 |
|
15 |
2,804718 |
28,67259766 |
46,51534 |
0 |
|
16 |
1,840412 |
10,91450931 |
16,94736 |
0 |
|
17 |
1,502057 |
7,393018004 |
4,992237 |
1 |
|
18 |
3,040355 |
35,18501636 |
46,07723 |
0 |
|
19 |
3,715554 |
59,72559435 |
53,7869 |
1 |
|
… |
0,474589 |
2,056072979 |
30,33323 |
0 |
| 1000 |
3,951475 |
70,60190651 |
71,80016 |
280 |
Таблица 1 – Расчётная таблица
Вычислим вероятность попадания точки в область, с помощью формулы: Р=m/n где m – количество попаданий (в нашем случае m=280), а n – общее количество экспериментов (в нашем случае n=1000).
Площадь исследуемой фигуры определяется, как: S(об)=(m/n)*S(пр)=(280/1000)*292=81,76
Таким образом, площадь исследуемой фигуры, используя метод Монте Карло равна 81,76.
Подводя итог, можно сделать вывод, что метод Монте-Карло успешно применяется при исследованиях сложных систем, к которым можно отнести различные системы , такие как: информационные, автоматизированные, многопроцессорные, вычислительные, и экономические.
Библиографический список
- Варфоломеева Т.Н., Гусева Т.Н. Применение имитационных моделей для решения экономических задач оптимизации [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. URL: http://www.science-education.ru/120-16305
- Овчинникова, И.Г. Задачник- практикум по программированию [Текст]: учеб.-метод. пособие. / И.Г. Овчинникова, Т.Н. Варфоломеева. – Магнитогорск: МаГУ, 2009. – 77 с.
- Ефимова, И.Ю. Компьютерное моделирование [Текст]: сборник практических работ 2-е издание, стереотипное / И.Ю. Ефимова, Т.Н. Варфоломеева. – Москва: ООО «Флинта», 2014. – 67 с. ISBN: 978-5-9765-2039-4
- Варфоломеева, Т.Н. Пособие для подготовки к ЕГЭ и ЦТ по информатике [Текст]: учеб. пособие в 2-х частях, Том. Часть 1. Алгоритмизация и программирование / Т.Н. Варфоломеева, И.Г. Овчинникова. – Магнитогорск: МаГУ, 2006. – 128 с.
- Давлеткиреева Л.З., Назаров В.О., Мусыгина А.А. Разработка технологической модели обработки данных и компонентов сети для КИС//Современные инновации в науке и технике : сб. научных трудов 4-ой Международной научно-практической конференции (17 апреля 2014 года)/редкол.: Горохов А.А. (отв. Ред.); В 4-х томах, Том 2., Юго-Зап. гос. ун-т. Курск, 2014. 413 с.-С.17-21
- Давлеткиреева, Л. З. Актуальность и преимущества проведения Интернет-конференции как одной из форм обмена опытом между образовательными учреждениями/Л. З. Давлеткиреева, И. К. Скокова//Современные тенденции развития науки и производства: сборник материалов Международной научно-практической конференции (23-24 октября 2014 года) -в 4-х томах, Том 1. -Кемерово: ООО «ЗапСибНЦ», 2014 -196 с. -C. 99-101.
- Швалев И.С., Чусавитина Г.Н., Давлеткиреева Л.З. Сравнительная характеристика автоматизированных инструментальных средств управления информационными рисками // Современные научные исследования и инновации // [Электронный ресурс]. 2012. URL: http://web.snauka.ru/issues/2012/11/18524.
- Ягудина Р.Р., Новикова Т.Б. Бизнес-моделирование процесса «Описание деятельности кафетерия» с использованием методологии ARIS // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 11 (55). С. 154-161.
- Комиссарова О.Р., Конькова Д.С., Матвеев В.А., Новикова Т.Б. Исследование деятельности аэропорта на примере диаграмм методологии ARIS «EEPC», «MFD» // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 11 (55). С. 117-120.
- Новикова Т.Б., Янин А.А., Агалакова В.И., Юрлова О.А., Курзаева Л.В. Реорганизация бизнеса для поддержки операционной деятельности с применением модели EPC // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 11 (55). С. 241-248.
- Новикова Т.Б., Махмутова М.В., Гусева Т.Ф., Вахрушев В.И., Седнева Д.А., Климов П.А., Иванченко А.Е., Игнатова Т.А., Микутская К.А. Разработка моделей для описания бизнес-процесса «Учет готовой продукции на складе» // Современные научные исследования и инновации. 2015. № 12 (56). С. 275-280.
- Новикова Т.Б., Гусева Т.Ф., Вахрушев В.И., Седнева Д.А., Климов П.А., Иванченко А.Е., Игнатова Т.А. Опыт моделирования диаграмм OD, FTA, VAD, EEPC для постановки задач управления в социальных и экономических системах // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 1 (57). С. 67-72.
- Курзаева Л.В. Использование имитационного моделирования как метода исследования логистики /Л.В. Курзаева// Научные труды SWorld. - 2006. – Т. 2. – № 1. – С. 17-19.Курзаева Л.В. Методические аспекты использования акмеологического воздействия при формировании профессиональных ценностных ориентаций у будущих ИТ-специалистов /Л.В. Курзаева// Научные труды SWorld. – 2009. – Т. 18. -№ 4.- С. 41-42.
- Гаврилова И.В. Имитационное моделирование / И.В. Гаврилова. – Магнитогорск : Издательство Магн. гос. тех. ун-та им. Г.И. Носова, 2016. – 104 с.
- Гаврилова И.В. Дистанционный курс “Имитационное моделирование”: электронный учебно-методический комплекс / И.В. Гаврилова // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов Наука и образование. ‑ 2015. ‑ № 11 (78). ‑ С. 62.
- Седнева Д.А., Махмутова М.В. Построение многомерной модели данных // Современные научные исследования и инновации. 2016. № 3 (59). С. 217-222.
- Гаврилова И.В., Махмутова М.В., Белоусова И.Д., Агдавлетова А.М. Методы построения информационной модели ARIS // Успехи современной науки. 2016. Т. 3. № 4. С. 36-38.
- Махмутова М.В., Новикова Т.Б., Вдовина Е., Петинова С. Моделирование бизнес-процесса с использованием диаграмм для решения и постановки задач управления на примере предметной области «Организация рекламной деятельности студии танца» //Современные научные исследования и инновации. 2015. № 12 (56). С. 774-779.
- Новикова Т.Б., Лунцова Д.С., Меркурьев А.В., Махмутова М.В. Разработка модели описания и оценок эффективности решения задач управления на примере бизнес-процесса «Планирование и мониторинг выполнения заказа в планово-производственном отделе» //Современная техника и технологии. 2015. № 12 (52). С. 168-173.