По свидетельствам Московского математического папируса интегрирование берет свое начало в Древнем Египте примерно с 1800 года до н. э. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур – метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н.э. – ок. 355 г. до н.э.). В работах для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. – 212 до н.э.) этот метод получил свое дальнейшее развитие.
В 11 веке в Ираке арабский ученый-универсал, математик, механик, физик и астроном Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) привел формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов в своей работе “Об измерении параболического тела”. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла.
Итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598 – 1647) и французский математик Пьера де Ферма (1601 – 1665) заложили основы современного интегрального исчисления.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида:
где a(0), …,a(n),…, а также x(0) – постоянные числа. Точку x(0)называют центром степенного ряда.
В теории существует огромное количество интегральных выражений требующих разрешения.
Интегральные выражения находят свое применение во множестве сфер математики и физики. Среди задач, использующих интегральные вычисления:
- Перемещение материальной точки.
- Зависимость между работой и силой.
- Масса тонкого стержня.
- Количество электричества (электрический заряд).
- Количество теплоты за время.
- Зависимость магнитного потока и ЭДС.
- Площадь криволинейной трапеции.
- Вычисление длины дуги плоской кривой.
- Вычисление длины дуги плоской кривой.
- Вычисление площади поверхности вращения.
- И прочее.
Они активно применяются на практике, а точнее, в технической среде. Поэтому есть возможность их решения[1]. Это такие интегралы, как:
- интеграл Пуассона:
- интегралы Френеля:
- степенные интегралы:
- логарифмические интегралы:
- и т. д.
Рассмотрим на примерах:
Пример № 1.
Зададим интегральное выражение.
Решим его при помощи разложения в ряд Маклорена:
Т. е.
Пример № 2.
…
В качестве вывода стоит отметить, что метод решения интегральных выражений при помощи разложения подынтегральной функции в степенной ряд является универсальным. На примере были получены результаты разложения и решения интегралов от необратимых функций.
Библиографический список
- Шонин М. Ю. Преобразование Лапласа при решении линейных интегро-дифференциальных уравнений // Научный поиск в современном мире:XI Международная научно-практическая конференция сб. ст. – Махачкала: Апробация, 2016. – С. 11-14.
- Агафонов М.В. Применение интегрального исчисления в электротехнике // Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания. 2014. №22. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-integralnogo-ischisleniya-v-elektrotehnike (дата обращения: 10.12.2016).