Определение разрешающей способности спектроанализатора пространственных сигналов

Тымчик Григорий Семенович — Sun, 22 Dec 2013 20:02:52 +0000

Оптическая система такого спектроанализатора выполнена по схеме «входной транспарант расположен за фурье – объективом» (рис. 1). В этой системе поток когерентного излучения лазера 1 расширяется телескопической системой 2 до размеров

Рис.1

апертуры входного транспаранта 3, который служит для полутоновой записи исследуемого сигнала t(x₁,y₁). На транспаранте 3 световой поток дифрагирует, и фурье – объективом 4 в плоскости 5 спектрального анализа формируется дифракционное изображение исследуемого сигнала. Распределение светового поля в дифракционном изображении описывается выражением [1,2]

(1)

где A – амплитуда световой волны в плоскости входного транспаранта; λ – длина волны излучения лазера; f – фокусное расстояние фурье – объектива. Поскольку ядром интегрального преобразования (1) является функция

exp[—ј(+)],

то функция U(x₁,y₁) описывает спектр сигнала t(x₁,y₁), пространственные частоты которого равны

Для определения разрешающей способности спектроанализатора будем поочерёдно помещать в плоскости 3 амплитудные спектральные решётки с коэффициентом пропускання

(2)

Рис. 2

где – пространственная частота, на которой определяется разрешающая способность; 2- пространственно – частотный интервал раздельного формирования максимумов спектра сигнала; rect – функция апертуры решёток, равная: 1 при ≤ и 0 при > ; l - длина стороны апертуры решёток.
Подставив (2) в (1) и выполнив интегрирование, получим

(3)

где sinc x = sinc πx/πx.
Так как фотометрические устройства регистрации параметров спектра реагируют на освещённость Е, пропорциональную квадрату амплитуды U световой волны, то, возводя (3) в квадрат, получим

(4)

Выбрав период 1/(±) решётки много меньше размеров l её апертуры, двумя последними слагаемыми, содержащими произведение двух sinc- функций, можно пренебречь. Из оставшихся: первое слагаемое описывает спектр апертуры решётки с частотами ±, второе и третье – спектр периодической структуры решётки с частотами ±. Спектр периодической структуры решётки содержит два максимума, пространственное расстояние между которыми равно ±(±)λf, а ширина их пропорциональна λf/l.
Нормированное распределение освещённости в этих максимумах для частот +, показанное на рис 2, описывается выражениями

(5)

(6)

Следуя критерию разрешения Реллея [ 3,4], уравнения (5) и (6) путём алгебраических преобразований можно свести к системе двух уравнений
,

(7)

общим решением которых будет зависимость

(8)

Таким образом, минимальное расстояние между максимумами спектра синусоидального сигнала, амплитуды которых формируются оптической системой спектроанализатора раздельно, ограничено размером l апертуры решётки, т.е. входного транспаранта 3. Как видно из (8), разрешающая способность постоянна в плоскости 5 спектрального анализа и определяется лишь размером апертуры l входного транспаранта . Величина апертуры l транспаранта может быть легко и точно измерена обычной линейкой или штангенциркулем.

Электронный научно-практический журнал «Современная техника и технологии» » spectrum analyzer

Определение разрешающей способности спектроанализатора пространственных сигналов