УДК 517.3

ОПЫТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Шонин Максим Юрьевич1, Столяров Александр Исмаилович2
1Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова, магистр прикладной математики и информатики
2Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова, бакалавр прикладной информатики

Аннотация
В статье рассматривается решение интегральных выражений с помощью степенных рядов. Статья содержит историческую справку об истоках интегрального исчисления, определение степенного ряда и данные о применимости интегральных выражений в различных сферах. Так же статья содержит примеры решения интегралов от необратимых функций.

Ключевые слова: интегральные исчисления, степенные ряды


EXPERIENCE THE INTEGRAL CALCULUS WITH THE HELP OF POWER SERIES

Shonin Maxim Yurievich1, Stolyarov Alexander Ismailovich2
1Nosov Magnitogorsk State Technical University, master of Applied Mathematics and Informatics
2Nosov Magnitogorsk State Technical University, bachelor of Applied Informatics

Abstract
The article deals with the solution of the integral expression using power series. This article contains historical information about the origins of integral calculus, the definition of power series and the applicability of integral expressions in various fields. The same article provides examples of solving integrals of irreversible functions.

Keywords: integral calculus, power series


Библиографическая ссылка на статью:
Шонин М.Ю., Столяров А.И. Опыт интегрального исчисления при помощи степенных рядов // Современная техника и технологии. 2016. № 12. Ч. 2 [Электронный ресурс]. URL: http://technology.snauka.ru/2016/12/11463 (дата обращения: 29.05.2017).

По свидетельствам Московского математического папируса интегрирование берет свое начало в Древнем Египте примерно с 1800 года до н. э. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур – метод исчерпывания Евдокса Книдского (ок. 408 г. до н.э. – ок. 355 г. до н.э.). В работах для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. – 212 до н.э.) этот метод получил свое дальнейшее развитие.

В 11 веке в Ираке арабский ученый-универсал, математик, механик, физик и астроном Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) привел формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов в своей работе “Об измерении параболического тела”. С помощью этих формул он проводит вычисление, равносильное вычислению определённого интеграла.

Итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598 – 1647) и французский математик Пьера де Ферма (1601 – 1665) заложили основы современного интегрального исчисления.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где a(0), …,a(n),…, а также x(0) – постоянные числа. Точку x(0)называют центром степенного ряда.

В теории существует огромное количество интегральных выражений требующих разрешения.

Интегральные выражения находят свое применение во множестве сфер математики и физики. Среди задач, использующих интегральные вычисления:

  1. Перемещение материальной точки.
  2. Зависимость между работой и силой.
  3. Масса тонкого стержня.
  4. Количество электричества (электрический заряд).
  5. Количество теплоты за время.
  6. Зависимость магнитного потока и ЭДС.
  7. Площадь криволинейной трапеции.
  8. Вычисление длины дуги плоской кривой.
  9. Вычисление длины дуги плоской кривой.
  10. Вычисление площади поверхности вращения.
  11. И прочее.

Они активно применяются на практике, а точнее, в  технической среде. Поэтому есть возможность их решения[1].  Это такие интегралы, как:

  • интеграл Пуассона:

  • интегралы Френеля:

  • степенные интегралы:
  • логарифмические интегралы:

  • и т. д.

Рассмотрим на примерах:

Пример № 1.

Зададим интегральное выражение.

Решим его при помощи разложения в ряд Маклорена:

Т. е.

Пример № 2.

В качестве вывода стоит отметить, что метод решения интегральных выражений при помощи разложения подынтегральной функции в степенной ряд является универсальным. На примере были получены результаты разложения и решения интегралов от необратимых функций.


Библиографический список
  1. Шонин М. Ю. Преобразование Лапласа при решении линейных интегро-дифференциальных уравнений // Научный поиск в современном мире:XI Международная научно-практическая конференция сб. ст. – Махачкала: Апробация, 2016. – С. 11-14.
  2. Агафонов М.В. Применение интегрального исчисления в электротехнике // Интеллектуальный потенциал XXI века: ступени познания. 2014. №22. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-integralnogo-ischisleniya-v-elektrotehnike (дата обращения: 10.12.2016).


Все статьи автора «Столяров Александр Исмаилович»


© Если вы обнаружили нарушение авторских или смежных прав, пожалуйста, незамедлительно сообщите нам об этом по электронной почте или через форму обратной связи.

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться: