Это позволяет оптимизировать процесс нарезания винтовых канавок на фассонных борфрезах.

Задачами работы является анализ взаимосвязи между углом наклона винтовой канавки и её шагом, построение графиков изменения конструктивных параметров на протяжении всей длины канавки, их анализ и подведение выводов.

Одними из основных параметров винтовой линии являются её шаг P и угол наклона w. На фасонных поверхностях, например, эллипсоидных эти два параметра не могут быть одновременно постоянными. Поэтому если P постоянный, а угол w переменный, то на его изменение требуется дополнительное пятое движение станка. Если же угол w постоянный, а P переменный, то мы используем тоже движение, которое осуществляет подачу.

Для построение графиков изменения конструктивных параметров представим эллипсоидную борфрезу в виде эллипса с большой полуосью a и малой - b. Большая полуось совпадает с осью X, а вершина совмещена с начало координат. Проложим винтовую линию по его поверхности, для этого будем вращать эллипс с угловой скоростью n и смещать его по оси X со скоростью V_X.

Возьмём произвольную точку , на винтовой линии. Расстояние от вершины эллипса до т.  по оси X обозначим через Х_A. а высоту от оси X до т. , через . Проведём касательную плоскость  через т.  к эллипсу. Угол наклона плоскости  обозначим  (рис. 1).

Проведём вектор отображающий скорость резания V_K (касательная к траектории винтовой линии в плоскости ). Спроецируем ось X на плоскость  и разложим на неё составляющую скорости резания V_KX. Достроим к ней перпендикуляр и получим V_KZ.

V_KX лежит в плоскости  и в плоскости . Перенесём эту составляющую на глобальную ось Х.

(1)

V_KZ лежит в плоскости . Это ничто иное как скорость по окружности эллипса. 

(2)

Где  – угловая скорость вращения эллипса, а  – высота от оси X до точки на эллипсе .

Таким образом угол наклона винтовой линии равен: 

(3)

Из развертки винтовой линии получаем зависимость (4)

(4)

Подставив (4) в (3) получаем формулу для нахождения шага в точке А (5): 

 (5)

На основании выше описанных формул по имеющимся исходным данным (табл. 1) построены графики изменения скорости (рис. 2) и шага (рис. 3) в зависимости от рассматриваемого участка фрезы.

Рисунок 2 – Изменение скорости

Рисунок 3 – Изменение шага

Проанализировав приведённые графики можно утверждать, что данная обработка возможна и изменение скорости подачи происходит по косинусоиде, а значение шага – по профилю эллипсоидной борфрезы.

Такая взаимосвязь делает процесс нарезания винтовых канавок на эллипсоидных борфрезах более универсальным и позволяет добиться стандартной реализации на различных станках.

Задачами работы является выведение формул и построение графиков соединяющих все параметры, а именно, взаимосвязи изменения скорости вращения и скорости подачи на протяжении всей длины эллипсоидной борфрезы, а так же их анализ и подведение выводов.

Для проведения расчетов представим стружечную канавку в виде винтовой линии на эллипсоиде с переменным шагом P и постоянным углом наклона w.

Большая ось эллипсоида лежит на оси X, а вершина совпадает с началом координат. Вектор движения подачи направлен вдоль оси X, а скорость вращения вокруг оси X. Проведём касательную плоскость в произвольной точке А на поверхности эллипсоида. Расстояние от вершины эллипса до т. по оси X обозначим через Х_A. а высоту от оси X до т. A, через r. Проведём касательную плоскость через т. A к эллипсу. Угол наклона плоскости a (рис. 1).

Проведём вектор отображающий скорость резания V_K (касательная к траектории винтовой линии в плоскости ). Спроецируем ось X на плоскость  и разложим на неё составляющую скорости резания V_KX. Достроим к ней перпендикуляр и получим V_KZ.

V_KX лежит в плоскости  и в плоскости . Перенесём эту составляющую на глобальную ось Х.

(1)

V_KZ лежит в плоскости . Это ничто иное как скорость по окружности эллипса.

(2)

Где  – угловая скорость вращения эллипса, а  – высота от оси X до точки на эллипсе .

Таким образом угол наклона винтовой линии равен:

(3)

Из развертки винтовой линии получаем зависимость (4)

(4)

Подставив (4) в (3) получаем формулу для нахождения шага в точке А (5):

(5)

Из формулы (3) выражаем скорость подачи  при постоянной скорости вращения  (6) и скорость вращения при постоянной скорости подачи (7).

	(6)
	(7)

По этим формулам построим графики:

Рис. 2 Изменение скорости подачи

Рис. 3 Изменение скорости вращения

На основании полученных графиков сделан следующий вывод.

Переменный шаг винтовой линии может осуществляться за счет переменной скорости подачи или скорости вращения. Выбор типа основывается на том, какое движение на станке осуществимо или более удобно в исполнении. Получив графики изменения параметров, мы видим, что они соответствуют общепринятым нормам, что на данном этапе доказывает правомерность формул.

Графики были построены по исходным данным из табл. 1.

Результаты исследования сделают процесс позиционирования более наглядным и послужат основой разработки программ ЧПУ для различных станков.

Задачами работы являются выведение необходимых математических операций позиционирования шлифовального круга, и проверка расчетов в среде 3D моделирования T-flex CAD.

Для проведения расчетов представим дно винтовой стружечной канавки эллипсоидной борфрезы в виде эллипсоида с вершиной в точке  начала общей системы координат , а шлифовальный круг в виде усеченного конуса со своей системой координат  с вершиной в точке центра его основания , совпадающей с точкой . В начальном положении  находиться в начале общей системы координат и направления осей сонаправлены общим  соответственно, как показано на рис. 1.

Для математического представления поворотов и перемещений использовался матричный метод представления. При позиционирования шлифовального круга необходимо выполнить следующие преобразования его системы координат  в каждой точке, относительно траектории винтовой стружечной канавки с постоянным углом наклона:

1.        Поворот на угол касательной к эллипсоиду  вокруг оси ;

2.        Поворот на угол наклона винтовой канавки  вокруг оси ;

3.        Поворот на угол  вокруг оси ;

4.        Перемещение в рассматриваемую точку на эллипсоиде;

5.        Перемещение по  на расстояние равное радиусу шлифовального круга;

6.        Перемещение в конечную точку от поворота на угол .

Первым шагом в позиционировании является поворот системы координат шлифовального круга  на угол касательной к эллипсоиду. В плоскости  уравнение эллипса, смещённого относительно начала координат вправо, выглядит следующим образом:

(1)

где  – большая полуось эллипса,  – малая полуось эллипса,  – координата рассматриваемой точки по оси , y – координата рассматриваемой точки по оси .

Выразив y, получаем выражение:

(2)

Отсюда находим угол наклона касательной :

(3)

Матрица вращения вокруг оси круга  выглядит следующим образом:

(4)

где  – угол поворота.

Представляем оси системы координат начального положения шлифовального круга  в виде единичных векторов ,  и . Умножаем матрицу  на каждый вектор по отдельности. Получаем вектора ,  и :

(5)

На рис.2 показана схема поворота системы координат шлифовального круга на угол касательной к эллипсу .

Рис. 2 Поворот на угол kas

Чтобы задать угол наклона винтовой канавки , нужно повернуть систему координат  на угол вокруг вектора  для этого напишем матрицу :

(6)

где ,  и  точки задающие положение единичного вектора , направленного по нормали к точке на эллипсе.

Поворачиваем систему координат  на угол наклона винтовой канавки , перемножив на матрицу :

(7)

Рис. 3 Поворот на угол наклона винтовой канавки w

Выполненных поворотов достаточно для образования канавки нужного профиля. Однако, тогда бы требовалось дополнительное, редко присутствующее, движение на станке для вращения круга в процессе обработке вокруг оси  так, чтобы вектор  был всегда направлен по нормали к эллипсу. Чтобы уйти от него поворачиваем систему координат круга на угол  вокруг оси  таким образом, чтобы вектор  лежал в плоскости . Вычисляем угол :

(8)

где  и проекции вектора  на оси  и  соответственно.

Матрица поворота на угол  вокруг оси Х выглядит так:

(9)

Поворачиваем систему координат  на угол , перемножив на матрицу :

(10)

Вектора  задают положение системы координат шлифовального круга после всех поворотов. На рис.4 представлен поворот круга на угол :

Рис. 4 Поворот системы координат круга  на угол 

Предыдущие преобразования мы делали в начале системы координат . Теперь нужно переместить систему координат шлифовального круга  в нужное положение относительно заготовки. Потребуется матрица перемещения в рассматриваемую точку на эллипсе:

(11)

 – координата рассматриваемой точки по оси , y – координата рассматриваемой точки по оси .

Перейдём к матрице перемещения на радиус шлифовального круга по нормали к эллипсу . В качестве нормали используем вектор . Чтобы задать значения перемещения нужно разложить вектор по значению равный радиусу шлифовального круга  направленный по нормали  на составляющие  и :

	(12)

Таким образом матрица  будет равна:

(13)

Последнее перемещение нужно после поворота на угол  вокруг оси , его можно рассчитать следующим образом:

	(14)

где  и  параметры на которые нужно переместить центр круга по оси  и  соответственно.

Тогда последняя матрица перемещения  будет равна:

(15)

Применим расчеты для начальной точки , получив :

(16)

Наглядно перемещения начальной  представлены на рис. 5.

а)	б)	в)
Рис. 5 Схема перемещения центра круга :а) – перемещение в точку касания на эллипсе с помощью матрицы ; б) – перемещение по нормали к эллипсу  на величину равную радиусу круга ; в) – перемещение после поворота на угол .

В целях проверки полученных матричных преобразований проведём аналогичные действия в среде 3-х мерного параметрического моделирования T-flex CAD и сверим результаты. Для этого зададим конкретные значения параметров (табл. 1):

Исходные данные			Таблица 1
Переменная	Значение	Описание
a	25	Большая полуось эллипса
b	10	Малая полуось эллипса
R	30	Радиус шлифовального круга
w	30	Угол наклона винтовой стружечной канавки

По ним рассчитаем направления осей системы координат , и положение точки центра круга . Результаты расчета представлены в табл. 2.

Результаты расчета			Таблица 2
Переменная	Значение	Описание
	(0.697; -0.649; 0.303)	Единичный вектора системы координат шлифовального круга  выходящие из точки (0; 0; 0).
	(0.595; 0.760; 0.259)
	(-0.399        ; 0; 0.917)
	(-14.862; 27.247; -9.683)	Центр основания шлифовального круга

Результат визуализации представлен на рис. 6.

Рис. 6 Визуальное представление в среде T-flex CAD

Модель обработки выглядит предполагаемым образом и все численные результаты совпадают с расчетными. Следовательно, расчетные данные верны и ими можно оперировать при написании программы ЧПУ.

(1)

где  – скорость подачи,  – большая полуось эллипсоида сердцевины,  – малая полуось эллипсоида сердцевины,  – угол наклона винтовой канавки,  – координата положения рассматриваемой точки на продольной оси заготовки.
Дно винтовой стружечной канавки эллипсоидной борфрезы имеет вид эллипсоида с вершиной в точке  начала общей системы координат , а шлифовальный круг в виде усеченного конуса со своей системой координат  с вершиной в точке центра его основания , совпадающей с точкой . В начальном положении  находиться в начале общей системы координат и направления осей сонаправлены общим  соответственно, как показано на рис. 1.

Рисунок 1 – Начальное положение: А – шлифовального круга; B – борфрезы

Для математического представления поворотов и перемещений использовался матричный метод представления. При позиционирования шлифовального круга были выполнены следующие преобразования его системы координат  в каждой точке, относительно траектории винтовой стружечной канавки с постоянным углом наклона:1. Поворот на угол касательной к эллипсоиду  вокруг оси ;

((2)

где  – угол наклона касательной в точке на эллипсоиде.2. Поворот на угол наклона винтовой канавки  вокруг оси ;

(3)

где ,  и  точки задающие положение единичного вектора , направленного по нормали к точке на эллипсе.3. Перемещение в рассматриваемую точку на эллипсоиде;

((4)

 – координата рассматриваемой точки по оси , y – координата рассматриваемой точки по оси .4. Перемещение по  на расстояние равное радиусу шлифовального круга;

((5)

где  и  составляющие значения радиуса шлифовального круга  направленного по нормали 5. Поворот на угол  вокруг оси :

(6)

где .
Для моделирования процесса обработки в среде параметрического моделирования T-Flex CAD переведём все матричные исчисления в соответствующие формулы движения шлифовального круга по осям:
Перемещение по оси 
Перемещение по оси 
Перемещение по оси 
Вращение вокруг оси 
где угол  задается массивом значений из определенного интеграла (1).
Вращение вокруг оси 
где 
Создадим параметрическую модель, задав формулы движения через параметры (рис. 2) с исходными данными из табл. 1.

Рисунок 2 – Задание переменных

Имитацией процесса обработки служит булева операция вычитания из тела заготовки параметрического массива шлифовальных кругов при движении вокруг неподвижной заготовки рис. 3.

Рисунок 3 – Массив шлифовальных кругов при формообразующем движении

В результате булевой операции мы получили модель режущей части эллипсоидной борфрезы с постоянным углом наклона винтовых стружечных канавок рис. 4.

Рисунок 4 – Модель режущей части фрезы

Рассмотрим геометрию полученных профилей зубьев модели в нормальном и радиальном сечениях и измерим значения передних и задних углов рис. 5.

а)	б)
Рисунок 5 – Геометрия зубьев: а) – в радиальном сечении; б) – в нормальном сечении

Как видно, из сравнения рис. 4а и 4б профиль модели соответствует установленным требованиям, при этом полученные значения углов совпадает с теоретическим. На основании приведенных данных можно сделать вывод о адекватности разработанной математической модели.